10.2.3. Энергия электромагнитного поля

Воспользуемся полученными формулами для вычисления энергии поля, которая определяется выражением

Интегрирование производится по пространству, заключенному в куб, объемом

Подставляя выражения для и проводя интегрирование по пространственным координатам с помощью соотношений

получим компактное выражение

в котором энергия представлена в виде суммы по модам.

В целях квантования поля желательно записать в форме гамильтониана. Для этого введем пару действительных канонических переменных

Исходя из временной зависимости определенной формулой (10.2.21), переменные синусоидально изменяются во времени с частотой и

В переменных выражение для энергии (10.2.26) принимает вид

Полученное выражение представляет собой энергию системы независимых гармонических осцилляторов, каждый из которых соответствует -моде электромагнитного поля. Состояние классического поля излучения описывается множеством всех канонических переменных и которое, вообще говоря, является бесконечным. Однако, поскольку мы имеем дело с конечным объемом и дискретным набором мод, это бесконечное множество — счетное. В канонических переменных канонические уравнения движения имеют вид

эквивалентный выражениям (10.2.29) и (10.2.30), соответственно.

Разложения (10.2.20), (10.2.23) и (10.2.24) для векторов поля в канонических переменных принимают вид