18.3.2. Стационарное решение

Перед тем, как пытаться получить временное решение уравнения (18.3.4), которое будет рассмотрено в разд. 18.6, рассмотрим решение в стационарном состоянии, которое достигается по истечении достаточно большого промежутка времени. В этом случае больше не зависит от времени и левая часть уравнения Фоккера — Планка обращается в нуль. Уравнение, следовательно, можно переписать в виде

где есть ток вероятности, задаваемый формулой

есть стационарное распределение лазерного поля Вектор называется вектором дрейфа и в частном случае, когда вектор дрейфа удовлетворяет условию потенциальности (см. разд. 2.9)

как в данном случае, решение уравнения Фоккера — Планка получается путем приравнивания тока вероятности к нулю. Это дает следующее дифференциальное уравнение

прямое интегрирование которого приводит к результату

или

где К — константа, обеспечивающая нормировку Иногда удобно ввести потенциальную функцию

которая позволяет переписать стационарное решение в виде

по аналогии с термодинамическими вероятностью и потенциалом. Необходимо подчеркнуть, однако, что данная аналогия является чисто формальной, поскольку лазер не является, как правило, системой, находящейся в состоянии термодинамического равновесия.

Поскольку стационарное распределение вероятности амплитуды поля содержит только квадрат более удобно ввести интенсивность света и фазу поля, записывая

Тогда, совместная плотность вероятности для связывается с преобразованием

или, после замены на на преобразованием

Поскольку фаза отсутствует в правой части уравнения, она, очевидно, равномерно распределена от до в стационарном состоянии. Интегрируя по от до мы приходим к следующему выражению для плотности вероятности интенсивности света

где С есть другая константа нормировки. Таким образом, плотность вероятности имеет структуру гауссовского распределения по если не считать того, что оно обрезается в точке поскольку интенсивность света не может быть отрицательной.

По мере того как режим работы лазера изменяется от «ниже порога» до «выше порога», а параметр накачки а изменяется от отрицательных до положительных значений, гауссовское распределение интенсивности смещается вправо вдоль -оси (см. рис. 18.6). Оно также изменяется по высоте, поскольку сохраняется нормировка

Рис. 18.6. Распределение вероятностей интенсивности I лазерного поля в стационарном состоянии при различных значениях параметра накачки а. Значение соответствует порогу генерации

Однако, как только а превысит значения 1 или 2, дальнейшие увеличения параметра накачки а приводят лишь к смещению гауссовского распределения с незначительным изменением формы, и дисперсия остается приблизительно равной 2 в наших безразмерных единицах. Конечно, не следует ожидать, что этот результат, полученный в рамках теории третьего порядка, будет иметь силу значительно выше порога генерации. Однако, он применим, обычно, вплоть до средних значений интенсивности света, превышающих пороговую в 100 раз. Анализируя выражение (18.3.17) или рис. 18.6, мы сразу видим, что, если лазер работает значительно выше порога генерации, и то

Отсюда следует, что, хотя флуктуации интенсивности света выше порога генерации не уменьшаются по абсолютному значению, их относительная величина стремится к нулю по мере увеличения параметра накачки. С другой стороны, из (18.3.12) можно показать, что дисперсия абсолютной амплитуды стремится

Рис. 18.7. Осцилляция лазерного поля во времени: а — значительно выше порога; ниже порога

Рис. 18.8. Вероятности фотоотсчетов для четырех значений параметра накачки (обозначенного здесь через кружки — экспериментальные значения, кривые — результат теоретического расчета. Отношение времени счета фотонов к времени когерентности равно (из работы Meltzer, Davis and Mandel, 1970)

к нулю выше порога [ср. (18.5.15) далее]. Таким образом, поле лазера приобретает характер колебания с постоянной амплитудой, как показано на рис. 18.7а, которое, однако, все еще модулировано по частоте и имеет случайную фазу. Более того, как будет показано далее, ширина спектра становится все более узкой значительно выше порога генерации. Лазерное поле значительно выше порога генерации часто считают когерентным именно в том смысле, что оно имеет постоянную амплитуду и очень узкую спектральную ширину. Обратимся теперь к другому пределу, когда лазер работает значительно ниже порога генерации, и параметр накачки а является большой отрицательной величиной. В этом случае мы сразу видим из (18.3.17), что

поскольку только малые значения имеют ощутимую вероятность. Таким образом, распределение вероятности очень близко к экспоненциальному по что видно на рис. 18.6. Как было показано в разд. 13.3, это распределение вероятности характерно для поляризованного света от теплового источника, и из (18.3.20) имеем

Само поле имеет гауссовское распределение и флуктуирует как по амплитуде, так и по фазе (см. рис. 18.7б).

Наконец, на пороге генерации, где параметр накачки распределение имеет характер полуобрезанного гауссовского распределения, и наклон при равен нулю. Следовательно, очень малые значения интенсивности света имеют приблизительно одинаковые вероятности.

Изменение формы при изменении параметра накачки может быть проверено в ходе измерений числа фотоотсчетов. В этих экспериментах лазерный луч направляется на фотодетектор и многократно записывается число фотоэлектрических импульсов, создаваемых в течение короткого интервала времени так что постепенно строится распределение вероятностей Если мало по сравнению с временем корреляции интенсивности, то связывается с распределением вероятности интенсивности

света интегральным соотношением (14.8.12). Это дает возможность проверить теоретический вид В результате было получено хорошее согласие с формулой (18.3.17) (Arecchi, Berne and Burlamacchi, 1966; Freed and Haus, 1966a, b; Smith and Armstrong, 1966; Meltzer, Davis and Mandel, 1970). Пример такого измерения показан на рис. 18.8.

Другой способ проверки теории основан на использовании факториальных моментов фотоэлектрических отсчетов, получаемых из и их соотношения с моментами интенсивности [ср. (14.9.4)]. Мы

обнаружим, что плавно меняется при изменении параметра накачки а и что, вследствие квантовых флуктуаций, отсутствует резкое изменение на пороге генерации, как это было в детерминированном случае, описываемом формулой (18.2.29). Тем не менее, можно опять определить параметр порядка, который обращается в нуль ниже порога генерации, со стороны неупорядоченной фазы, и не равен нулю выше порога генерации.