11.2. Фоковское представление когерентных состояний

Знакомясь с когерентными состояниями, удобно сосредоточить наше внимание сначала только на одной -моде электромагнитного поля. Поэтому, исходя из предположения, что мы рассматриваем только одну моду, упростим наши обозначения и отбросим пока индекс моды.

Предположим, что оператор уничтожения а имеет правое собственное состояние. Поскольку а не является эрмитовым, его собственное значение, в общем случае, будет некоторым комплексным числом и мы будем обозначать тем же комплексным числом соответствующее собственное состояние Таким

образом, можно записать

Сопряженное состояние есть, очевидно, левое собственное состояние оператора рождения а), что видно после применения операции эрмитового сопряжения к уравнению (11.2.1)

Введенное таким образом состояние будем называть когерентным состоянием, хотя обоснование этого термина появится лишь позже. Уравнение (11.2.1) и сопряженное ему являются пока совершенно формальными, и мы не имеем доказательства того, что существуют их нетривиальные решения. Однако, нетрудно найти точное представление для в базисе фоковских состояний различающихся числом заполнения Поскольку фоковские состояния образуют полное множество [см. формулу (10.4.18)], их можно использовать для представления в виде

где комплексные числа, которые нужно определить. Подставляя разложение (11.2.3) в (11.2.1) и используя формулы (10.4.8) и (10.4.11), получаем

Так как являются ортогональными векторами состояния, последнее уравнение удовлетворяется только в том случае, когда равны коэффициенты при соответствующих векторах фоковских состояний в левой и правой частях уравнения. Таким образом, приравнивая коэффициенты при получаем

Многократно используя данное рекуррентное соотношение, связывающее получаем

так что

Множитель можно определить из требования нормировки состояния на единицу, что означает

где использовалось свойство ортогональности (10.4.19) фоковских состояний. Таким образом,

и, с точностью до унимодулярного множителя,

Интересно отметить, что для каждого комплексного числа не равного нулю, когерентное состояние имеет ненулевую проекцию на каждое фоковское состояние Таким образом,

Если то когерентное состояние становится вакуумным состоянием которое можно рассматривать и как когерентное, и как фоковское состояние. Квадрат модуля проекции на есть вероятность того, что фотонов будут обнаружены в когерентном состоянии Следовательно,

что можно рассматривать как распределение Пуассона относительно с параметром Следовательно, среднее число фотонов в случае, когда поле находится в когерентном состоянии равно

и оно тем меньше, чем меньше Но как бы мало ни было (исключая случай существует некоторая ненулевая вероятность того, что поле содержит некоторое число фотонов каким бы большим оно ни было. В некотором смысле, число фотонов является настолько случайной величиной, насколько это возможно в когерентном состоянии, имеющем определенное среднее число Отличительной чертой комбинации фоковских состояний (11.2.9) является именно то, что данное состояние не меняется при воздействии оператора уничтожения а. Возможность неоднократного поглощения фотонов из электромагнитного поля в когерентном состоянии без какого-нибудь изменения этого состояния говорит о возможной связи между когерентным состоянием квантового поля и классическим полем.

С первого взгляда может показаться, что поскольку когерентное состояние не является собственным состоянием какой-нибудь наблюдаемой, оно не соответствует никакой, легко измеримой, характеристике электромагнитного поля. Однако, это не так, ибо фактически большинство измерений оптических полей основаны на фотоэлектрическом детектировании. При этом используются такие инструменты, как фотоумножитель, фотопроводник, фотопластинка и глаз. Эти инструменты работают за счет поглощения фотонов, и поэтому именно оператор поглощения наиболее близко соответствует измерению поля. Отчасти, именно вследствие того, что когерентные состояния являются собственными состояниями оператора поглощения, они оказываются особенно удобными для описания многих свойств поля, которые встречаются в ходе фотоэлектрических измерений.