5.3.3. Обратная задача для плоских, вторичных, квазиоднородных источников

В предыдущем разделе (разд. 5.3.2) мы получили выражения для интенсивности излучения и спектральной степени когерентности для дальнего поля, создаваемого плоским, вторичным, квазиоднородным источником. Теперь мы рассмотрим обратную задачу, а именно задачу определения спектральной плотности и спектральной степени когерентности источника на основе измерений в дальнем поле. Из (5.3.21) мы имеем

Эта формула определяет двумерную пространственную фурье-компоненту спектральной степени когерентности источника, обозначенную пространственно-частотным вектором через интенсивность излучения поля в направлении, задаваемом единичным вектором где декартовы компоненты двумерного вектора Однако, поскольку только низкочастотные пространственные фурье-компоненты, т.е. компоненты, для которых можно определить, зная интенсивность излучения. Высокочастотные фурье-компоненты, для которых связаны с затухающими волнами (см. разд. 3.2.2). Во многих случаях, представляющих практический интерес, высокочастотными пространственными фурье-компонентами в хорошем приближении можно пренебречь.

Тогда из (5.3.55), если использовать соотношение мы получим для дследующее приближенное выражение:

Поскольку спектральная степень когерентности имеет единичное значение при из (5.3.36) следует, что

Далее из (5.3.36) и (5.3.37) следует, что

Эта формула дает приближенное решение задачи при поиске спектральной степени когерентности плоского, вторичного, квазиоднородного источника путем измерения углового распределения интенсивности излучения, создаваемого источником.

Чтобы определить распределение спектральной плотности в плоскости источника на основе измерений в дальнем поле, удобно сначала переписать формулу (5.3.22) в виде

где

Заметим, что когда когда две точки поля в дальней зоне находятся на равных расстояниях от начала координат, и становятся равными, т.е.

Формула (5.3.40) выражает одну из нормированных пространственных фурье-компонент, обозначенных пространственно-частотными векторами

распределения спектральной плотности через спектральную степень когерентности для дальнего поля, в равноотстоящих точках от начала координат в направлениях Так как мы видим, что на основе измерений спектральной степени когерентности в дальнем поле можно получить только те пространственно-частотные компоненты нормированного распределения спектральной плотности в плоскости источника, для которых По той же самой причине, которая обсуждалась ранее в связи с определением спектральной степени когерентности источника на основе измерений интенсивности излучения, мы не будем учитывать пространственно-частотные компоненты, для которых Тогда, выполняя обратное преобразование Фурье выражения (5.3.40), получим для спектральной плотности источника следующую формулу

где и единичные векторы связаны соотношением (5.3.42), и определяется из (5.3.37). Из определения преобразования Фурье [см. (5.3.18)], сразу следует, что

откуда видно, что пропорционально интегралу от спектральной плотности, взятому по всему источнику.

Формулы (5.3.38) и (5.3.43) дают возможность определить спектральную степень когерентности и нормированную спектральную плотность квазиоднородного, вторичного, плоского источника на основе измерений в дальнем поле.

Проиллюстрируем применение одной из обратных формул для определения спектральной степени когерентности квазиоднородного вторичного плоского ламбертовского источника. Угловое распределение интенсивности излучения от ламбертовского источника подчиняется закону Ламберта

где Подставляя (5.3.45) в (5.3.38) и вспоминая, что находим

где

— декартовы координаты вектора

Для вычисления интеграла в правой части уравнения (5.3.47) положим, что

Тогда формула (5.3.47) принимает вид

Вспоминая хорошо известное интегральное представление функции Бесселя первого рода и нулевого порядка [Watson, 1966, с. 20, уравнение (5)], можно сразу выполнить интегрирование по переменной а именно

С учетом этой формулы выражение (5.3.49) сводится к

Этот интеграл можно вычислить в конечном виде (см., например, Градштейн и Рыжик, 1980, с. 682, формула 2, из 6.554) и тогда получаем следующее выражение для

Из (5.3.46) и (5.3.52), с учетом следует, что

Рис. 5.9. Спектральная степень когерентности где Для плоского вторичного квазиоднородного ламбертовского источника [см. (5.3.53)]

Таким образом, мы заключаем, что все квазиоднородные вторичные плоские ламбертовские источники имеют одну и ту же степень пространственной когерентности, определяемую уравнением при условии, что вклады высокочастотных пространственных фурье-компонент не учитываются. Поведение функции показано на рис. 5.9. Мы видим, что корреляции поля в плоскости ламбертовского источника распространяются на расстояние такое что к т.е. на расстояния где длина волны. Таким образом, ламбертовский источник является пространственно нестрого когерентным, несмотря на то, что его корреляционные ширины на оптических частотах очень малы, а именно порядка длины волны для каждой спектральной компоненты.

Встречаются обобщения ламбертовского распределения интенсивности излучения (5.3.45), когда изучают корреляционные свойства квазиоднородного источника, который генерирует произвольное распределение с вращательной симметрией. Тогда мы можем представить в виде ряда по степеням

Вследствие линейности обратной формулы (5.3.38) взаимная спектральная плотность квазиоднородного источника, которая дает вклад в представляет собой линейную комбинацию взаимных спектральных плотностей, создаваемых элементарными источниками (также предполагается, что все они являются квазиоднородными), каждый из которых создает интенсивность излучения вида [см. рис. 5.10а]

Обратная задача, связанная с распределением интенсивности излучения (5.3.55), была рассмотрена в нескольких работах (Antes, Baltes and Steinle, 1976; Baltes, Steinle and Antes, 1976; Carter, 1984; см. также Baltes, 1977 разд. 3.3 и 3.4 и McGuire, 1979). Было обнаружено, что спектральная степень когерентности квазиоднородного вторичного источника, который генерирует интенсивность излучения (5.3.55), определяется формулой

где функция Бесселя первого рода и Г - гамма-функция. Здесь предполагается также, что

Рис. 5.10. График а в полярных координатах, иллюстрирует угловое распределение нормированной интенсивности излучения, создаваемой коррелированным по Бесселю, плоским вторичным квазиоднородным источником; поведение спектральной степени когерентности источника [см. (5.3.56)]. Числа на кривых представляют собой значения параметра Пунктирная кривая соответствует ламбертовскому источнику (Baltes, Steinle and Antes, 1976)

высокочастотные пространственные фурье-компоненты являются пренебрежимо малыми. Формула (5.3.56) справедлива для всех значений а не только для неотрицательных значений интеграла и, как легко можно проверить, сводится к формуле (5.3.33) при

Иногда говорят, что источники, для которых спектральная степень когерентности определяется уравнением (5.3.56), являются коррелированными по Бесселю. На рис. 5.10? спектральная степень когерентности изображена как функция от для некоторых значений параметра