8.5. Представление по когерентным модам взаимных спектральных плотностей произвольного порядка

8.5.1. Общие выражения

В разд. 4.7 мы показали, что взаимная спектральная плотность низшего порядка которую мы обозначали как стационарного оптического поля в конечной области свободного пространства может быть выражена в следующем виде [см. (4.7.9)]:

что иногда называется представлением по когерентным модам взаимной спектральной плотности. Здесь собственные функции (ортонормированные) и собственные значения интегрального уравнения

Мы также показали, что взаимная спектральная плотность может быть выражена как корреляционная функция в виде [см. (4.7.38)]

Здесь ансамбль монохроматических полей с частотой каждое, и усреднение правой части (8.5.3) проводится по этому ансамблю. Поля могут генерироваться из когерентной моды с помощью формулы

где случайные коэффициенты, такие, что

символ Кронекера.

Представления (8.5.1) и (8.5.3) оказались очень полезными при рассмотрении различных проблем статистической оптики, как очевидно, например, из анализа некоторых задач распространения частично когерентного света, рассмотренного в гл. 5, и в связи с теорией мод лазерного резонатора, обсуждавшейся в разд. 7.4.

В этом разделе мы обобщим пространственно-частотное изложение на корреляции произвольного порядка. Однако, в отличие от ситуации с корреляциями низшего порядка оказывается, что строгая формулировка теории более высоких порядков требует использования обобщенных функций. Как и везде в этой книге, мы не будем использовать довольно сложный аппарат теории обобщенных функций, а вместо этого будем использовать эвристические рассуждения и дельта-функцию Дирака.

Начнем с формального разложения (обобщенного) фурье-образа флуктуирующей переменной поля по собственным функциям интегрального уравнения (8.5.2)

Благодаря тому, что функции образуют ортонормированную систему в области из разложения (8.5.6) сразу же следует, что коэффициенты разложения выраженные через V, задаются формулой

Важно отметить, что в нашем анализе фигурируют два разных статистических ансамбля: ансамбль случайных функций и ансамбль случайных функций Первый характеризуется ансамблем коэффициентов разложения второй — ансамблем коэффициентов разложения

Можно сразу же установить связь между корреляциями ансамблей Используя формулу (8.5.7) и меняя местами порядок усреднения и интегрирования, мы получаем, что

Угловые скобки в левой части представляют, конечно, усреднение по ансамблю Нужно отличать это усреднение от усреднения по ансамблю которое обозначается угловыми скобками с индексом как в выражении (8.5.5).

Теперь воспользуемся выражением (4.3.39), с помощью которого была введена взаимная спектральная функция плотности

Подставляя (8.5.9) в (8.5.8), мы получаем формулу

Согласно уравнению (8.5.2) интеграл по просто равен следовательно, выражение (8.5.10) сводится к

В силу того, что собственные функции образуют ортонормированную систему, интеграл справа просто равен символу Кронекера следовательно,

С учетом (8.5.5) выражение (8.5.12) приводит к следующему соотношению между корреляциями второго порядка случайных коэффициентов разложения

Можно сразу же выразить взаимные спектральные плотности произвольного порядка через модовые функции теории второго порядка. Тогда мы получим, подставляя в левую часть (8.3.11) для V разложение (8.5.6) и меняя порядок суммирования и усреднения, что

где обозначает суммирование по всем возможным значениям целых чисел и

— моменты коэффициентов в разложении (8.5.6). Из структуры выражения (8.5.14) очевидно, что моменты равны нулю, если только не удовлетворяется ограничение (8.3.10), и когда оно удовлетворяется, они имеют дельта-образные особенности.

Формула (8.5.14) может быть легко обращена, чтобы получить выражения для моментов через функции взаимной спектральной плотности Для этого мы подставим (8.5.7) в (8.5.15) и используем (8.3.11). Тогда получим для требуемую формулу: