1.5.5. Нормальное, или гауссовское распределение

Пусть х является непрерывной случайной переменной, определенной на бесконечном интервале от до Переменная х называется гауссовской случайной переменной, если ее плотность вероятности определяется выражением

Распределение вероятности проиллюстрировано на рис. 1.7. Оно содержит два независимых параметра, которыми являются среднее значение и среднее квадратичное отклонение а. Это распределение нормировано следующим образом

Нормальное, или гауссовское распределение вероятности (1.5.22) играет центральную роль в теории вероятности по ряду причин. Оно имеет особенно простую структуру; оно является предельной формой некоторых других распределений вероятности; и, благодаря центральной предельной теореме (см. разд. 1.5.6 ниже), оно является распределением вероятности, которое встречается во множестве различных случаев. Поэтому мы будем изучать свойства гауссовского распределения довольно долго.

Производящая функция моментов может быть легко рассчитана путем дополнения до полного квадрата в показателе экспоненты. Мы получаем

Характеристическая функция получается сразу, если заменить на в выражении (1.5.23). С другой стороны, можно отталкиваться от первых принципов, выполняя фурье-преобразование и получить:

Ввиду закона преобразования (1.4.24) производящая функция моментов и характеристическая функция для имеют вид:

Рис. 1.7. Гауссовское распределение вероятности со средним

Тогда центральные моменты вытекают из разложения в ряд по поскольку является коэффициентом при Мы получаем следующие выражения для центральных моментов

где Дисперсия равна асимметрия равна нулю, а эксцесс

Производящая функция кумулянтов особенно проста, и мы находим ее сразу из выражения

Следовательно, существует только два отличных от нуля кумулянта, — среднее и дисперсия Все высшие кумулянты равны нулю. Верно и обратное: плотность вероятности, у которой кумулянты выше второго порядка исчезают, является гауссовской. Мы не будем доказывать этот результат здесь, но можно показать, что нет другого распределения вероятности, производящая функция кумулянтов которого является полиномом по Эта теорема по существу является теоремой Марцинкевича, с которой мы уже встречались (разд. 1.4.3).

Когда гауссовское распределение представлено в стандартной форме, с нулевым средним значением и единичной дисперсией, оно упрощается до следующего вида:

и

Многие другие распределения вероятности стремятся к гауссовской форме в определенном пределе. Покажем, например, что пуассоновское распределение стремится к гауссовскому при Из выражения (1.5.11) производящая функция кумулянтов пуассоновской переменной описывается формулой

Теперь преобразуем в стандартную форму путем преобразования случайной переменной

которая может быть рассмотрена как непрерывная случайная переменная для больших Из закона преобразования (1.4.26) производящая функция кумулянтов для х определяется выражением

Для любого заданного это выражение стремится к так как значение совпадает с выражением для из формулы (1.5.29) для производящей функции кумулянтов гауссовской случайной переменной в стандартной форме.

Говорят, что комплексная переменная является гауссовской (с нулевым средним, для простоты), если х и у — статистически независимые гауссовские переменные с нулевым средним и с тем же средним квадратичным отклонением а. Тогда совместная плотность вероятности имеет вид

и мы можем записать

где является дисперсией комплексной переменной z. В случае, когда среднее z не равно нулю, 2 в выражении (1.5.31) можно заменить на