12.8.4. Однородность
Понятие статистической однородности связано по смыслу с изменением электромагнитного поля в пространстве, подобно тому, как понятие стационарности связано с изменением во времени. Мы описываем поле как статистически однородное, если ожидаемое значение любого оператора, который является функцией координат, инвариантно относительно смещения начала координат.
Теперь генератором пространственного смещения является полный импульс поля некоторый произвольный неэрмитовый оператор поля (12.2.1), а 
о — некоторое произвольное смещение, то мы имеем из теоремы об операторном разложении (10.7.7), что
Из разложений 
также из коммутационных соотношений (10.4.1) и (10.4.2) следует, что
и, аналогично, для коммутатора порядка 
имеем
После подстановок из (12.8.29) в (12.8.28) мы находим, что
что подтверждает роль 
в качестве генератора пространственного сдвига.
Отсюда следует, что если ожидаемое значение некоторого произвольного произведения операторов рождения и уничтожения 
которое встречается в обсуждавшихся ранее корреляционных функциях 
является инвариантным относительно сдвига 
то мы должны иметь
если вспомнить, что след инвариантен относительно циклической перестановки операторов. Это уравнение будет выполняться для произвольной корреляционной функции и произвольного сдвига 
в том случае, если 
коммутирует с 
Следовательно, мы можем рассматривать условие
в качестве условия однородности поля. Полагая в 
или — 
и т. д., видим, что ожидаемое значение 
в действительности, является лишь функцией разностей между пространственными переменными 
и т.д. Условие (12.8.32) полностью аналогично условию стационарности (12.8.2). Действительно, из приведенных выше рассуждений должно быть понятно, что ожидаемые значения операторов, в общем случае, остаются инвариантными относительно некоторой трансформации, если оператор плотности коммутирует с генератором данной трансформации. Из (10.5.7) имеем
так что 
коммутирует с оператором полной энергии 
и условия, при которых 
удовлетворяет (12.8.32), как правило, достаточно близко соответствуют найденным ранее условиям, при которых оператор 
удовлетворяет формуле (12.8.2). В соответствии с (12.8.12), условие однородности может быть выражено в фоковском представлении через матричные элементы 
оператора 
в виде
где 
ожидаемые значения импульса в фоковских состояниях 
и соответственно. Очевидно, что фоковское состояние соответствует полю, которое и однородно и стационарно. Следуя тем же рассуждениям, которые мы использовали, чтобы вывести (12.8.14), мы видим, что состояние, весовой функционал которого в диагональном представлении по когерентным состояниям зависит только от набора модулей является однородным и стационарным.
С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые привели к (12.8.19), можно показать, что условие однородности для взаимной спектральной плотности порядка 
имеет вид
Очевидно, что взаимная спектральная плотность может быть отлична от нуля для однородного поля, только если
даже в том случае, когда 
и когда 
не являются слишком большими. Полагая 
находим, что уравнение (12.8.22) также должно удовлетворяться для однородного поля, и это справедливо для (12.8.23), (12.8.24) и (12.8.25). Соотношение (12.8.26) для стационарного поля заменяется более общим соотношением
