10.4.3. Базис фоковских состояний

Поскольку фоковские состояния являются собственными состояниями полного набора коммутирующих наблюдаемых, они формируют полную систему, служащую базисом для представления произвольных состояний и операторов. Полнота системы отражается в разложении единичного оператора по проекторам на фоковские состояния:

Кроме того, поскольку состояния являются собственными состояниями эрмитовых операторов различные фоковские состояния ортонормированы, так что

Воспользовавшись этими соотношениями, можно получить представление любого состояния поля и любого оператора поля.

В качестве примера рассмотрим оператор плотности поля. Этот оператор удобен для описания состояния системы, которая не находится в чистом квантовом состоянии, а описывается с помощью ансамбля квантовых состояний с вероятностями Оператор представляет собой усредненный по ансамблю проекционный оператор

Поскольку состояния полей излучения, встречающихся на практике, как правило, никогда не являются чистыми, уместно описывать их с помощью соответствующих операторов плотности. Чтобы получить представление оператора плотности в базисе фоковских состояний, просто умножим с двух сторон на единичный оператор (10.4.18). Тогда

В качестве другого примера рассмотрим фоковское представление операторов уничтожения и рождения Снова умножим справа и слева на единичный оператор (10.4.18) и, используя выражение (10.4.8), получим

Аналогично, с помощью выражения (10.4.5) получим

Заметим, что эти представления полностью недиагональны для к-моды, так что средние значения и в фоковском состоянии обращаются в нуль

Вычисляя сумму и разность разложений (10.4.22) и (10.4.23) для получим с помощью выражений (10.3.7) и (10.3.8) фоковские представления для операторов и Средние значения этих операторов в фоковском состоянии также равны нулю

Это является следствием того, что собственные значения операторов и с одинаковой вероятностью принимают отрицательные и положительные значения, когда поле находится в фоковском состоянии. Моменты второго порядка, безусловно, не обращаются в нуль. Из выражений (10.3.7) и (10.3.8) и коммутационного соотношения (10.3.9) получаем

так что произведение среднеквадратичных отклонений имеет вид

Произведение неопределенностей, таким образом, тем больше, чем больше степень возбуждения состояния, и достигает наименьшего возможного значения, равного в случае нулевого возбуждения. Стоит отметить, что флуктуируют, т.е. не имеют определенного значения даже в основном состоянии.