4.7. Представление по когерентным модам и представление по ансамблю для источников и полей в пространственно-частотной области

В разд. 2.4.1 мы уже отмечали, что стационарную случайную функцию, скажем в рамках теории обычных функций нельзя представить в виде интеграла Фурье, поскольку выборочные функции не стремятся к нулю при Поэтому представление, использованное нами в предыдущем разделе этой главы, для эвристического описания флуктуирующих полей в пространственно-частотной области, было введено чисто формально. Справедливость основных результатов, полученных при таком нестрогом подходе, можно подтвердить с помощью более сложных математических методов, таких, как обобщенный гармонический анализ и теория обобщенных функций.

Несмотря на то, что фурье-спектр стационарной случайной функции определить невозможно, математически точное представление стационарных случайных источников и полей в пространственно-частотной области может быть получено с помощью ансамблей обычных функций, что было впервые показано Вольфом (Wolf, 1982, см. также 1981а, b, 1986 и Agarwal and Wolf, 1993), по крайней мере, в рамках теории второго порядка. Естественно, в основе этого представления лежат не гармонические фурье-ядра а собственные функции интегрального уравнения, ядро которого представляет собой взаимную спектральную плотность. В этом разделе мы изложим основные принципы этой теории.

4.7.1. Представление по когерентным модам частично когерентных полей в свободном пространстве

Рассмотрим стационарное оптическое поле заключенное в некоторой конечной замкнутой области свободного пространства. Пусть функция взаимной когерентности. Предположим, что убывает достаточно быстро при что гарантирует абсолютную интегрируемость функции взаимной когерентности по во всех точках т.е.

Тогда из хорошо известной теоремы фурье-анализа (Goldberg, 1965) следует, что имеет частотный фурье-образ

и что этот фурье-образ, а именно взаимная спектральная плотность является непрерывной функцией от

Из (4.3.12а) и неравенства (4.3.13) следует, что абсолютная интегрируемость функции взаимной когерентности предполагает также, что эта функция является квадратично интегрируемой:

Тогда согласно соотношению Парсеваля (Goldberg, 1965) взаимная спектральная плотность квадратично интегрируема по

и выражение (4.7.2) может быть записано в обращенном виде:

Нижний предел интегрирования в правой части (4.7.5) равен 0, а не поскольку функция взаимной когерентности представляет собой аналитический сигнал.

Выражения и непрерывность взаимной спектральной плотности как функции частоты следуют из единственного сделанного нами предположения (4.7.1). Предположим теперь, что взаимная спектральная плотность является также непрерывной функцией в области Тогда должна быть ограничена в Следовательно,

Ранее мы видели что взаимная спектральная плотность удовлетворяет условию

а также является неотрицательно определенной функцией в том смысле, что

где произвольная квадратично интегрируемая функция. Это неравенство, представляющее собой «непрерывный аналог» неравенства (4.3.44), может быть получено путем рассуждений, сходных с теми, что мы использовали в разд. 2.4.4 при доказательстве того, что матрица взаимной спектральной плотности является неотрицательно определенной. При этом сумму в (2.4.40) необходимо заменить интегралом (2.3.4а) и (2.3.46)].

Условие (4.7.6) означает, что взаимная спектральная плотность представляет собой ядро Гильберта — Шмидта. Из выражений (4.7.7) и (4.7.8) следует, что это ядро эрмитово и неотрицательно определенное. Согласно теореме Мерсера (см. разд. 2.5.1), взаимная спектральная плотность, которую мы полагаем непрерывной, может быть представлена в виде

Ряд в правой части выражения (4.7.9) абсолютно и равномерно сходится. Функции являются собственными функциями, а коэффициенты собственными значениями интегрального уравнения

которое представляет собой однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Если эрмитова, то, как и в случае одномерного аналога (4.7.10) (см. разд. 2.5), интегральное уравнение (4.7.10) имеет хотя бы одно собственное значение, отличное от нуля. Если эрмитова и неотрицательно определена, то все собственные значения являются действительными и неотрицательными, т.е.

Более того, без потери общности, можно предположить, что собственные функции образуют ортонорми-рованное множество, т.е.

где символ Кронекера.

Покажем, что в настоящем контексте разложение Мерсера (4.7.9) имеет интересную физическую трактовку. Перепишем (4.7.9) в виде

где

Взаимная спектральная плотность вида (4.7.14) соответствует полю, полностью когерентному в пространственно-частотной области. Это очевидно следует из теоремы, полученной нами в разд. 4.5.3 [см. (4.5.73)] или непосредственно из того, что соответствующая спектральная степень когерентности

представляет собой унимодулярную функцию для всех

Ранее мы показали что в свободном пространстве взаимная спектральная плотность удовлетворяет двум уравнениям Гельмгольца

где

— волновое число, связанное с частотой Подставляя разложение (4.7.9) для в (4.7.166), умножая уравнение на интегрируя обе части по в области и затем меняя порядок операций суммирования и интегрирования, и, наконец, используя условие ортонормированности (4.7.12), находим, что

в области Из (4.7.14) и (4.7.18) сразу же следует, что также удовлетворяет двум уравнениям Гельмгольца

Таким образом, для каждого удовлетворяет тем же уравнениям, что и взаимная спектральная плотность поля. Следовательно, можно считать, что соответствует моде поля. Мы показали, что разложение представляет взаимную спектральную плотность поля в виде суперпозиции мод, каждая из которых полностью когерентна в пространственно-частотной области. По этой причине разложение (4.7.9) иногда называют представлением по когерентным модам взаимной спектральной плотности.

Также можно легко получить из (4.7.14) и (4.7.12), что моды взаимно ортонормированы или, точнее говоря, что

Далее коротко рассмотрим спектральную плотность поля. Согласно (4.3.41), спектральная плотность света в точке представляет собой «диагональный элемент» взаимной спектральной плотности, т.е.

Подставляя (4.7.13) в (4.7.21), получим следующее выражение для спектральной плотности

где

Интегрируя (4.7.22) в области меняя порядок операций суммирования и интегрирования и используя формулу

которая непосредственно следует из (4.7.23) и (4.7.12), мы получим соотношение

Из выражений (4.7.22) и (4.7.23) видно, что вклад моды, обозначенной индексом в спектральную плотность в точке составляет из (4.7.25) следует, что ее вклад в интеграл от спектральной плотности по области который является мерой полной энергии в на частоте равен

В заключение отметим, что согласно (4.7.5) и (4.7.13) функция взаимной когерентности поля может быть представлена в виде

где функция взаимной когерентности моды, обозначенной индексом определяется по формуле

Из можно легко показать с помощью (4.7.20), что функции Гтакже ортогональны в том смысле, что

Однако, в отличие от спектральной степени когерентности комплексная степень когерентности каждой моды, полученная путем подстановки (4.7.276) в (4.3.12а), в общем случае не является унимодулярной функцией. Следовательно, моды в общем случае, не являются полностью когерентными в пространственно-временной области. Полученный вывод вполне предсказуем, поскольку выражения (4.7.27) не соответствуют виду (4.5.54), что требуется для полной когерентности в этой области.