16.6.2. Кооперативное излучение атомов, находящихся в факторизованном состоянии

Предположим, что начальное состояние системы из атомов задается произведением

где являются произвольными комплексными числами, одинаковыми для всех атомов, причем Следовательно, предполагается, что каждый атом находится в одном и том же чистом квантовом состоянии. Выберем в качестве начального состояния поля вакуумное состояние, так что начальный оператор плотности полной системы в некоторый момент времени записывается в виде

Нас интересуют переходы в течение короткого интервала времени из этого состояния в состояние, из которого испускается фотон с волновым вектором к и поляризацией Вероятность испускания такого фотона определяется формулой

где является оператором плотности полной системы в более поздний момент времени а сумма берется по полному набору конечных атомных состояний Поскольку конечное однофотонное состояние является ортогональным начальному состоянию системы, можно воспользоваться выражением (14.1.14) для вероятности с точностью до низшего неисчезающего члена. Подставляя выражение (16.6.1) для гамильтониана взаимодействия приходим к следующему результату:

в котором отброшены все сильно осциллирующие вклады во временных интегралах. Наконец, просуммируем по всем соответствующим всем возможным конечным однофотонным состояниям, как в разд. 15.4. В результате, приходим к следующему выражению для вероятности испускания фотона в течение интервала времени

Здесь является обычным коэффициентом Эйнштейна А.

Видно, что в этом выражении имеется член, пропорциональный числу атомов как можно было ожидать для излучения несвязанных друг с другом атомов. Если начальное состояние является полностью возбужденным, так что то он будет единственным неисчезающем членом в правой части этого выражения. Другой член, пропорциональный связан с кооперативным процессом излучения, когда поскольку он не обращается в нуль, только если В частности, когда является большим числом, этот член становится пропорциональным и будет доминировать в общем выражении, если только не близко к нулю, и атомы не являются почти полностью возбужденными. Поэтому отсюда следует, что скорость излучения взаимодействующих атомов, коллективное состояние которых имеет вид произведения атомных состояний, может быть намного больше, чем скорость излучения независимо излучающих атомов, при условии, что атомы неполностью возбуждены. Это и есть явление сверхизлучения, для которого скорость сверхизлучения пропорциональна Скорость максимальна, когда является максимальным, что имеет место, когда пли когда начальное возбуждение атомной системы точно равно половине его максимального значения. Скорость излучения тогда близка к т.е. равна скорости излучения в состоянии Дике, описываемой выражением (16.6.6). В этом отношении атомная система ведет себя практически одинаково, когда она находится в полу возбужденном факторизованном состоянии и когда она находится в полу возбужденном состоянии Дике. Однако мы не должны выпускать из поля зрения тот факт, что среднее значение коллективного атомного дипольного момента является наибольшим в первом случае и нулевым — в последнем случае, так что первый случай наиболее близко соответствует набору классических диполей. Для отличия явления сверхизлучения, при котором суммарный атомный дипольный момент равен нулю, от сверхизлучения, при котором дипольный момент отличен от нуля, для последнего иногда используется термин суперфлуоресценция.