7.6.3. Рассеяние случайной средой в приближении Борна первого порядка

Теперь рассмотрим более сложную задачу рассеяния случайной средой. Из-за сложности задачи мы сделаем следующие упрощающие предположения о рассеивающей среде:

(а) Рассеивающая среда является линейной, изотропной, ненамагниченной, статистически однородной, и ее временные флуктуации стационарны, по крайней мере в широком смысле, и имеют приближенно нулевое среднее. Предположения об однородности и стационарности означают, что корреляционная функция диэлектрической восприимчивости для пары точек в среде на временах и зависит только от разности

Угловые скобки обозначают здесь усреднение по ансамблю реализаций случайной среды.

(б) Пространственная протяженность корреляций восприимчивости мала по сравнению с размером объема рассеяния т.е. расстояния для которых не мало, гораздо меньше, чем линейные размеры Рассеяние существенно слабое, так что оно может рассматриваться в рамках приближения Борна первого порядка.

Что касается падающего (действительного) электрического поля, мы будем считать, что оно статистически однородно и стационарно, по крайней мере, в широком смысле. Тогда его корреляционный тензор будет также зависеть от пространственных и временных переменных только через разности т.е. будет иметь вид

где обозначают декартовы компоненты. Угловые скобки слева обозначают усреднение, проведенное по ансамблю, что характеризует статистические свойства падающего поля.

В последующем анализе нам также понадобится тензор взаимной спектральной плотности падающего электрического поля. Формально он может быть определен уравнением (6.8.1а)]

где обобщенные фурье-образы соответственно, и дельта-функция Дирака. Согласно обобщенной теореме Винера — Хинчина и (2.4.38)] электрический тензор взаимной спектральной плотности является фурье-образом электрического корреляционного тензора, т.е.

Следует заметить, что средние в выражениях (7.6.28) и (7.6.29) берутся по двум разным статистическим ансамблям. В (7.6.28) оно берется по ансамблю, который характеризует флуктуации диэлектрической восприимчивости, тогда как в (7.6.29) — по ансамблю, который характеризует флуктуации падающего поля. Мы будем полагать, что эти два вида флуктуаций статистически независимы. Это предположение разумно, если падающее поле не слишком сильное.

Теперь мы выведем выражения для углового и спектрального распределений энергии рассеянного поля в дальней зоне. В этих целях мы сначала заметим, что благодаря тому, что как ту, так случайные процессы, процесс заданный выражением (7.6.26), является также случайным. Следовательно,

(обобщенные) фурье-образы рассеянного поля в дальней зоне, заданные выражениями (7.6.27), также являются случайными процессами. Для каждой реализации мы имеем из (7.6.27а)

где

Правая часть (7.6.32) упрощается с помощью векторного тождества

С), и тогда можно найти, что (ср. olf and Foley, 1989, с. 579)

где декартовы компоненты единичного вектора обозначает символ Кронекера и суммирование проводится по повторяющимся индексам.

Далее мы проведем усреднение выражения (7.6.34) по ансамблям падающего поля и флуктуирующей среды. Обозначая это двойное усреднение двойными угловыми скобками, мы сразу же получим (7.6.34), что

Путем сравнительно долгих, но простых вычислений, выполненных в Приложении 7.1, можно найти, что двойное усреднение, которое появляется в правой части (7.6.35), можно выразить с хорошей степенью точности в виде

где

— временной фурье-образ корреляционной функции (7.6.28) обобщенной восприимчивости рассеивающей среды. Знак приближенного равенства в (7.6.36) возникает из-за использования нашего предположения о том, что длина пространственных корреляций флуктуаций диэлектрической восприимчивости мала по сравнению с линейными размерами рассеивающего объема.

Наконец, подставляя (7.6.36) в (7.6.35), мы видим, что

где

определены выражениями (7.6.33).

Величина определенная формулой (7.6.38) и заданная выражением (7.6.39), пропорциональна среднему значению плотности электрической энергии на частоте рассеянного электрического поля в точке дальней зоны. Согласно хорошо известным свойствам дальнего поля [см., например, Friberg and Wolf, 1983, выражения (4.10) и (4.11)] она также пропорциональна средним значениям плотности магнитной энергии и величины вектора Пойнтинга на частоте в дальней зоне. Поэтому мы можем считать, что представляет собой спектральную плотность рассеянного поля. Формула (7.6.39) выражает ее в виде линейного преобразования взаимной спектральной плотности определенной выражением (7.6.30), падающего флуктуирующего электрического поля. Видно, что ядро преобразования

пропорционально преобразованию Фурье по времени (7.6.37) двухвременнбй корреляционной функции определенной уравнением (7.6.28), обобщенной диэлектрической восприимчивости рассеивающей среды. Эта двухвременная корреляционная функция аналогична так называемой зависящей от времени двухчастичной корреляционной функции Ван Хова (Van Hove, 1954: Glauber, 1962, разд. 5), также известной как функция парного распределения, которая часто встречается в физике плазмы и в теории рассеяния нейтронов.