4.4.5. Распространение корреляций от первичных источников
В предыдущих разделах мы рассматривали распространение корреляций второго порядка в свободном пространстве, не уделяя внимания тому, каким образом изначально создавалось флуктуирующее поле. Флуктуации поля, безусловно, являются следствием того, что механизм излучения поля источниками никогда не является строго детерминированным и может быть описан только статистически. Выясним, каким образом корреляции поля связаны с корреляциями его источника.
Пусть 
представляет собой реализацию (действительного) флуктуирующего скалярного источника, занимающего в свободном пространстве конечную область 
поле, излучаемое этим источником. Тогда 
связаны между собой неоднородным волновым уравнением
Сопоставим 
аналитические сигналы 
соответственно. Повторяя в несколько расширенном виде рассуждения, приведшие к (4.4.7), получим, что 
удовлетворяет неоднородному волновому уравнению
Заменим 
на 
на 
и осуществим комплексное сопряжение уравнения. Это дает
где 
лапласиан по пространственным координатам точки 
Заменим теперь в 
на 
на 
Получим
где 
лапласиан по координатам точки 
Перемножая, соответственно, левые и правые части уравнений (4.4.53) и (4.4.54), находим
Взяв среднее от обеих частей выражения (4.4.55) по ансамблю источника, получаем
где
Мы видим, что корреляционные функции поля и источника связаны между собой дифференциальным уравнением четвертого порядка.
Предположим, что статистический ансамбль, характеризующий флуктуации источника, стационарен, по крайней мере в широком смысле. В этом случае корреляционная функция источника 
будет зависеть от двух своих временных аргументов только через их разность 
это также справедливо для корреляционной функции поля, поскольку соотношение между переменной поля V и переменной источника 
согласно (4.4.52) является линейным. Таким образом, можно записать
Функция 
разумеется, является функцией взаимной когерентности поля, которую мы до сих пор обозначали как 
где 
Оба оператора 
в правой части (4.4.56) можно заменить на 
Следовательно, если источник стационарен, по крайней мере, в широком смысле, корреляционные функции второго порядка поля и источника связаны между собой дифференциальным уравнением четвертого порядка следующего вида
Выразим 
через взаимные спектральные плотности 
поля и источника с помощью преобразований Фурье:
Подставляя (4.4.62) в (4.4.61) и изменяя порядок операций дифференцирования и интегрирования, получим следующее дифференциальное уравнение четвертого порядка для двух функций взаимной спектральной плотности:
где
— волновое число, соответствующее частоте 
Уравнение (4.4.61), или (4.4.63), может служить исходной точкой при изучении свойств полей, излучаемых стационарными первичными источниками с любой степенью когерентности. Эти задачи будут рассмотрены нами в разд. 5.2, а в этом разделе мы получим формулу, которая нам понадобится в дальнейшем. Эта формула дает точное решение уравнения (4.4.63) для 
выраженное через 
при условии, что источник излучает в свободном пространстве. Решение будет получено в два этапа. Во-первых, перепишем (4.4.63)
и решим полученное уравнение относительно 
при фиксированном 
Хорошо известно, что решение такого волнового уравнения имеет вид (см., например, Papas, 1965, разд. 2.1)
где (см. рис. 4.14)
и интегрирование осуществляется по всей области источника 
Уравнение (4.4.66) имеет тот же вид, что и (4.4.65), и мы можем сразу же получить его решение. Однако, необходимо помнить, что 
входят в определение 
как комплексно сопряженные величины. Поэтому соответствующая функция Грина будет иметь вид 
в отличие от 
В итоге искомое решение уравнения (4.4.63) имеет вид
где
Рис. 4.14. Условные обозначения, используемые в выражениях 
Соответствующее решение уравнения (4.4.61) можно получить аналогичным путем, записывая решение однородного волнового уравнения с помощью хорошо известной запаздывающей функции Грина. Или же можно поступить еще проще: осуществить фурье-преобразование выражения (4.4.68) и воспользоваться формулами (4.4.62). В результате получим
