Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

2.1. Введение в статистические ансамбли

Концепция случайного или стохастического процесса или функции представляет собой обобщение понятия множества случайных переменных когда множество не является счетным, и переменные формируют континуум. Следовательно, вводится некоторый непрерывный параметр, такой, как время Мы называем случайным процессом или случайной функцией от если х зависит от случайным образом. Случайные процессы встречаются во многих областях науки, когда имеют место флуктуации. Примерами реальных случайных процессов являются флуктуации напряжения на выходе электрического резистора или координаты частицы, совершающей броуновское движение. Вскоре мы увидим, что оптическое поле, сгенерированное любым световым источником, должно также рассматриваться как случайная функция положения и времени. Безусловно, параметр может означать любую другую величину, помимо времени, но для простоты мы будем использовать в качестве этого параметра время. В наших приложениях будет часто представлять собой декартову компоненту вектора электрического или магнитного поля в световом луче. Для начала будем считать действительным, в то же время будут рассматриваться и комплексные случайные процессы.

2.1.1. Среднее по ансамблю

Поскольку х зависит от случайным образом, мы можем описывать его значения только статистически при помощи распределения вероятности или плотности вероятности. При каждом значении является случайной переменной в некоторой области значений с плотностью вероятности или При интегрировании по этой области значений мы имеем

что характерно для плотности вероятности. Следует отметить, что в силу зависимости от распределение вероятности символизирует не одно, а бесконечное семейство распределений вероятностей. Множество всех случайных величин в моменты времени образуют случайный процесс Мы можем вычислить среднее значение в момент времени используя плотность вероятности

С другой стороны, можно рассматривать множество всех возможных реализаций или выборочных функций изображенных на рис. 2.1, как случайный процесс. Счетное множество всех возможных реализаций называют ансамблем В эксперименте выборочная функция может описывать результат измерения как функцию времени но повторный эксперимент в общем случае дает другие выборочные

функции или реализации, которые могут быть обозначены последовательно Среднее, или математическое ожидание х в момент времени можно найти усреднением по ансамблю всех реализаций

Выражения (2.1.1a) и (2.1.16) представляют собой эквивалентные определения среднего по ансамблю.

Рис. 2.1. Представление действительного случайного процесса на основе ансамбля реализаций

Рассмотренные выше понятия и определения в равной степени применимы к комплексному случайному процессу для которого случайная переменная, зависящая от определенного является комплексной. Записывая мы видим, что комплексный случайный процесс можно рассматривать в виде пары действительных случайных процессов Тогда плотность вероятности представляет собой совместную плотность вероятности от в момент времени Среднее от можно вычислить на основе очевидным образом обобщая уравнение (2.1.1а), которое мы можем записать в виде

где Эта величина эквивалентна среднему по ансамблю реализаций

Для простоты в этом разделе обратимся к действительным случайным процессам.