2.3. Свойства автокорреляционной функции

Учитывая важность автокорреляционной функции для любого действительного или комплексного стационарного случайного процесса рассмотрим некоторые ее свойства.

Это непосредственно следует из определения Стоит заметить, что может обратиться в нуль только в тривиальном случае, когда случайный процесс тождественно равен нулю при всех

Это свойство эрмитовости следует из того факта, что является стационарным, что позволяет нам осуществить произвольное смещение начала отсчета времени. Следовательно,

Это свойство следует из неравенства Шварца:

которое означает, что не может превышать его начального значения несмотря на то, что она может спадать ниже, чем и затем снова возвращаться к .

(г) — неотрицательно определенная функция.

Чтобы доказать это свойство, используем тот факт, что для любого положительного целого числа любых временных аргументов и любых действительных или комплексных чисел мы должны иметь

Это означает, так как что

Из этого неравенства видно, что автокорреляционная функция является неотрицательно определенной. С другой стороны, можно получить интегральную форму свойства неотрицательной определенности на основе очевидного неравенства

где произвольная функция, а произвольные моменты времени. Затем мы получим тем же способом другую форму для условия неотрицательности,

(д) Пусть означают моментов времени и пусть Тогда

где Гц означает детерминант матрицы Гц размером Это неравенство следует из условия неотрицательности (2.3.4а), которое можно записать в матричном виде

Здесь а — произвольный вектор-столбец размерности сопряженный вектор-строка размерности Теперь согласно уравнению (2.3.2) матрица эрмитова и, следовательно, может быть диагонализирована при помощи унитарного преобразования U (удовлетворяющего условию

где диагональная матрица. Следовательно, можно переписать неравенство (2.3.6) в виде

или

где другой вектор-столбец с произвольными элементами. Если положить где символ Кронеккера, то уравнение (2.3.8) сводится к

причем есть собственное значение (диагональный элемент) Следовательно, все собственные значения неотрицательны, как и детерминант который идентичен детерминанту исходной матрицы, что очевидно приводит к неравенству (2.3.5).

Когда матрица порядка уравнение (2.3.5) становится тождественным уравнению (2.3.1). Когда Гц порядка уравнение (2.3.5) воспроизводит неравенство (2.3.3). При и выше можно получить ряд новых неравенств на основе уравнения (2.3.5), которые здесь мы не будем рассматривать.

(е) Если стационарный случайный процесс является дифференцируемым, то «скорость» (точка означает дифференцирование по времени) процесса представляет собой стационарный в широком смысле случайный процесс с нулевым средним, и его автокорреляционная функция равна

Для доказательства этого результата, воспользуемся определением производной, после чего легко найдем, что

Также

является, следовательно, стационарным, по крайней мере, в широком смысле.

(ж) Если стационарный случайный процесс дифференцируем, то и его «скорость» имеют функцию взаимной корреляции Вновь мы исходим из первых принципов:

В качестве следствия, вытекающего из этого уравнения, мы заключаем, что действительный стационарный дифференцируемый случайный процесс является некоррелированным вместе с его производной за тот же интервал времени. Используя свойство симметрии для действительного случайного процесса а именно

находим, что следовательно,

Таким образом, из уравнения (2.3.12) имеем

В заключение дискуссии об автокорреляционной функции заметим, что ее нормированный вариант

является по своей математической форме эквивалентным характеристической функции. Это так, потому что также, как и является неотрицательно определенной (см. свойство (д) выше) и, следовательно, удовлетворяет требованиям теоремы Бошнера (см. разд. 1.4.2). Следовательно, фурье-образ от обладает всеми свойствами плотности вероятности. Как мы вскоре увидим, фурье-образ ненормированной функции имеет важное физическое значение.

То, что нормированная автокорреляционная функция имеет математическую структуру характеристической функции, является, возможно, одним из наиболее важных свойств Это подтверждает правильность результатов, установленных в теории вероятности (см., например, Lukacs, 1970). Свойства которые мы только что обсудили, являются следствиями этого факта. Другое важное свойство автокорреляционной функции, которое может быть выведено из этой эквивалентности, немедленно следует из уравнения (1.4.11), а именно:

(з) непрерывно.

Это так даже тогда, когда случайный процесс имеет скачкообразные разрывы, например, процесс, который изображен на рис. 2.5.