16.3.1. Уравнение движения для огибающей импульса

Рассмотрим плоскополяризованную волну со средней частотой совпадающей с центром неоднородно уширенной линии, и волновым числом распространяющуюся в направлении оси z. Представим огибающую в виде

где единичный вектор поляризации, медленно меняющиеся фазовая и амплитудная функции, которые выберем действительными. Выбирая действительной, а фазу не зависящей от времени, мы для упрощения задачи исключаем из рассмотрения возможные эффекты фазовой модуляции. Однако использование зависящей от координаты z фазы позволяет учесть то обстоятельство, что фазовая скорость волн в активной среде может отличаться от фазовой скорости света в матрице. Предположим, что изменяются достаточно слабо во времени и по координате z, так что

По мере того, как электромагнитная волна или импульс распространяется через среду, она возбуждает атомы, и вектор Блоха в общем случае, зависит от атомной частоты координаты z и времени Тогда из (16.1.5) находим, что поляризация в точке момент времени определяется формулой

где плотность атомных диполей, профиль неоднородно уширенной линии, как и прежде. Как обычно, можно выразить под знаком интеграла через составляющие вектора Блоха во вращающейся системе координат. В результате получим

Удобно ввести в преобразование зависящий от координаты z фазовый множитель ожидая, что поляризация распространяется в среде точно так же, как и и учитывая, что слабо изменяются в пространстве и времени. Это делает фазу вращающейся системы координат зависящей от координаты z, в то время как частота ее вращения всегда одинакова и равна Тогда уравнения Блоха во вращающейся системе координат определяются выражениями (15.3.19) с фазовым углом, равным нулю.

Подставим выражение (16.3.2) для в волновое уравнение (16.3.1), воспользуемся неравенствами (16.3.3) для пренебрежения малыми членами и воспользуемся выражениями (16.3.4) и (16.3.5). Это приведет к уравнению

Сравнивая коэффициенты при с обеих сторон этого уравнения и умножая скалярно на получаем выражение

До сих пор мы не уточняли тип атомного перехода или поляризацию световой волны. Если мы имеем дело с атомным переходом является действительным, и если мы используем линейно-поляризованный свет, то произведение также будет действительным. С другой стороны, если мы имеем дело с атомным переходом и если свет поляризован циркулярно, то или 0, в зависимости от направления циркулярной поляризации. Это означает, что множитель может быть выбран действительным в обоих случаях. Если теперь сравнить действительную и мнимую части обеих сторон уравнения (16.3.6), то придем к следующим уравнениям:

которые описывают движение светового импульса через среду.