2.5. Ортогональное представление случайного процесса

При изучении статистических свойств излучения черного тела Эйнштейн и Хопф (Einstein and Hopf, 1910) предположили, что в любом конечном интервале времени поле можно представить в виде ряда Фурье, коэффициенты которого являются нормально распределенными, независимыми случайными величинами с нулевым средним. Вскоре после этого фон Лауэ (von Laue, 1915а) высказал сомнение в правильности этого предположения, в результате чего последовала дискуссия (Einstein, 1915; von Laue, 1915b), которая не привела к общей точке зрения. Можно показать, что излучение черного тела является стационарным гауссовским процессом (см. разд. 2.1.2), и представление Эйнштейна — Хопфа в дальнейшем использовалось для представления таких процессов, несмотря на существующие разногласия.

Вопрос о разложении случайного процесса в ряд Фурье позже изучался Дависом (Davis, 1953), Рутом и Пичером (Root and Pitcher, 1955). Из этих работ следует, что для того, чтобы представление Эйнштейна — Хопфа было справедливым, процесс должен быть не только гауссовским, но и периодическим с периодом т.е. если процесс для всех удовлетворяет условию с вероятностью 1. Очевидно, излучение черного тела не удовлетворяет требованию периодичности, так что согласно фон Лауэ разложение Эйнштейна — Хопфа не может быть строго справедливым. Однако из анализа Рута и Пичера следует, что если в произвольном интервале стационарный гауссовский случайный процесс представить рядом Фурье со случайными коэффициентами, то корреляция между коэффициентами стремится к нулю при В этом пределе разложение Фурье, конечно, не существует, но результат подразумевает, что если достаточно велико, предположение о независимости коэффициентов, хотя и не совсем точно, но все же в общем случае представляет собой приемлемое приближение.

В 1947 году Кац и Сигерт ввели новый вид разложения для стационарного гауссовского случайного процесса, в котором коэффициенты разложения строго независимы. Примерно в то же самое время Карунен (Karhunen, 1946) показал, что независимо от того, является ли стационарный процесс стационарным или гауссовским, «ортогональное разложение» в общем случае возможно. Разложения типа Карунена — Луева нашли широкое применение при обработке случайных процессов. Поэтому мы вкратце рассмотрим эти разложения.

2.5.1. Разложение Карунена — Луева

Рассмотрим комплексный случайный процесс который не обязательно является стационарным. Для простоты предполагаем, что

Рассмотрим возможность разложения каждой реализации процесса в виде

где функции образуют ортонормальное множество на интервале т.е.

символ Кроиеккера. Коэффициенты некоррелированные случайные переменные, т.е.

неотрицательные константы.

Временно предположим, что такое разложение существует и посмотрим, можно ли определить функции и константы Для этой цели образуем автокорреляционную функцию случайного процесса Очевидно, с учетом (2.5.2) и (2.5.4), что

Если умножить обе стороны уравнения (2.5.5) на проинтегрировать по в области и воспользоваться условием ортогональности (2.5.3), то получим соотношение

Уравнение (2.5.6) является однородным интегральным уравнением Фредгольма для Более точно, являются собственными функциями интегрального оператора, ядро которого, в предположении его непрерывности, представляет собой автокорреляционную функцию случайного процесса и соответствующие собственные значения. Ядро подчиняется условию эрмитовости и можно предположить, что оно представляет собой ядро Гильберта — Шмидта, т.е.

При этих условиях можно прийти к следующим выводам относительно собственных функций и собственных значений нашего интегрального уравнения (Riesz and Nagy, 1955, разд. 97; Pogorzelski, 1966, гл. 5; Smithies, 1970, гл. 7):

(а) Интегральное уравнение (2.5.6) имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение.

(б) Каждое собственное значение имеет максимальное конечное вырождение.

(в) Существует (конечная или бесконечная) ортогональная последовательность собственных решений уравнения (2.5.6) с тем свойством, что любую функцию являющуюся квадратично интегрируемой на интервале можно рассматривать в смысле сходимости в среднем в виде

где функция, такая, что

(г) Ядро интегрального уравнения (2.5.6), т.е. автокорреляционную функцию процесса, можно представить в виде уравнения (2.5.5) с рядом, сходящимся в среднем к

Только что полученные результаты справедливы в предположении, что является эрмитовым ядром Гильберта — Шмидта, т.е. подчиняется условию (2.5.7) (ср. Riesz and Nagy, 1955, p. 365). Однако можно легко показать, что является также неотрицательно определенной, т.е. что для любого действительные или комплексные числа удовлетворяют неравенству

Это неравенство можно доказать тем же способом, который мы использовали для вывода соответствующего неравенства (2.3.4а) для автокорреляционной функции стационарного случайного процесса. С учетом этого свойства для можно показать, что

(д) Разложение (2.5.5) сходится равномерно (теорема Мерсера).

(е) Собственные значения являются неотрицательными действительными числами.

Окончательно заметим, что если условие неотрицательной определенности для можно заменить на более сильное условие положительной определенности, т.е. когда знак равенства в уравнении (2.5.11) или, более точно, в эквивалентной интегральной форме [см. (2.3.46)], за исключением тривиального случая, когда не может быть достигнут, то собственные функции образуют полный набор квадратично интегрируемых функций в пространстве Гильберта.

Следовательно, если выборочные функции рассматриваемого случайного процесса являются квадратично-интегрируемыми на интервале и автокорреляционная функция процесса удовлетворяет условию сходимости (2.5.7) и является положительно определенной (а не неотрицательно определенной!), то разложение формы (2.5.2) существует и удовлетворяет условиям (2.5.3) и (2.5.4). Это представление известно как разложение Карунена — Луева случайного процесса