3.2.5. Дифракционные формулы Рэлея

Теперь покажем, как с помощью преобразования Вейля для сферической волны можно легко решить граничные задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца в полупространстве.

Сначала рассмотрим задачу Дирихле, т.е. задачу, в которой нужно найти решение уравнения Гельмгольца (3.2.3) для волнового поля в полупространстве зная граничные значения на плоскости Будем предполагать, что уходит на бесконечность в полупространстве Начнем с представления в виде углового спектра (3.2.19) поля в полупространстве, а именно,

где согласно (3.2.27) и (3.2.24)

Если подставить (3.2.71) в (3.2.70) и поменять порядок интегрирования, то получим следующее выражение для поля через граничные значения:

где

Теперь согласно формуле Вейля (3.2.60) с

Если продифференцировать эту формулу по z и поменять справа порядок дифференцирования и интегрирования, то найдем, что

Из сравнения (3.2.73) и (3.2.75) видно, что

где

Наконец, подставляя (3.2.76) в (3.2.72), получим искомое решение задачи Дирихле:

Эта формула впервые была получена Рэлеем (Rayleigh, 1897) и иногда называется дифракционной формулой Рэлея первого рода.

Тем же самым способом можно получить решение соответствующей задачи Неймана, в которой нужно найти (удаляющееся) решение уравнения Гельмгольца во всем полупространстве зная граничные значения производной на плоскости Дифференцируя (3.2.70) по и меняя порядок дифференцирования и интегрирования, найдем, что

Выполняя обратное преобразование Фурье этой формулы (после обычной замены переменных интегрирования), получим следующее выражение для функции спектральной амплитуды поля:

Далее подставим отсюда в (3.2.70) и поменяем порядок интегралов. Тогда получим

где

Сравнивая эту формулу с представлением Вейля (3.2.60) для сферической волны, мы сразу видим, что

где снова определяется формулой (3.2.77). Окончательно, при подстановке (3.2.83) в (3.2.81) найдем

Рис. 3.15. Приближение дальней зоны (3.2.85). и точки на плоскости и в дальней зоне, соответственно. Когда достаточно велико где основание перпендикуляра, проведенного из на линию т.е.

Эта формула представляет собой искомое решение задачи Неймана. Иногда ее называют дифракционной формулой Рэлея второго рода (Rayleigh, 1897).

В заключение этого раздела рассмотрим поведение дальнего поля на основе дифракционной формулы Рэлея первого рода [см. (3.2.78)]. Для этого заметим, что когда достаточно велико,

где единичный вектор в направлении (см. рис. 3.15). Однако

если фиксирован. Дифференцируя (3.2.86) по z в этом пределе, легко найдем, что

Подставляя (3.2.87) в (3.2.78), получим формулу

где фурье-образ от Эта формула для дальнего поля соответствует формуле (3.2.34), полученной другим способом.