5.6.2. Пример: монохроматические гауссовские лучи

Мы будем использовать одно из представлений луча, полученное в разд. 5.6.1, для объяснения основных свойств гауссовских лучей. Такие лучи создаются многими широко используемыми лазерами.

Гауссовский луч представляет собой направленное поле, которое создается распределением поля

на плоскости положительные константы. Заметим, что когда расстояние

равно уменьшается в раз относительно своего значения на оси. Следовательно, эффективный радиус распределения с круговой симметрией на плоскости По это причине параметр обычно называют минимальным размером пятна.

Гауссовское распределение (5.6.22) часто представляет собой приближение к истинному полю на плоскости на расстояниях не превышающих некоторого значения Если а значительно больше, чем то эффект использования приближения поля на плоскости полным гауссовским распределением является, как правило, пренебрежимо малым при определении поля во всем полупространстве в котором распространяется луч.

Для того, чтобы представить поле, создаваемое плоским, вторичным источником с граничными значениями (5.6.22), в виде углового спектра плоских волн [см. (5.6.3)], мы должны сначала определить его спектрально-амплитудную функцию Она получается при подстановке выражения (5.6.22) для в (5.6.6) при использовании соотношения (5.6.5). Тогда мы получим для выражение

Двойной интеграл в правой части (5.6.24) можно непосредственно вычислить, используя формулу (5.6.16), и мы находим, что

Для того чтобы выражение представляло собой функцию спектральной амплитуды луча, распространяющегося вдоль оси z, также должно выполняться условие (5.6.9), т.е. должна иметь отличные от нуля значения, когда Выражение (5.6.25) достигает своего максимального значения при и уменьшается в раз относительно максимума при Следовательно, имеет отличные от нуля значения только когда

Следовательно, условие (5.6.9) для луча будет удовлетворяться в данном случае при при Поскольку где длина волны, это условие эквивалентно требованию

Следовательно, при условии, что минимальный размер пятна много больше длины волны, гауссовское распределение (5.6.22) на плоскости будет вызывать появление луча, известного как гауссовский луч.

Согласно уравнениям (5.6.11) и (5.6.25) гауссовский луч имеет следующее представление углового спектра в полупространстве

Двойной интеграл в правой части (5.6.28) можно легко вычислить, используя формулу (5.6.16). Если вместо мы запишем где

— «поперечный вектор», который вместе с z, определяет положение точки поля то мы получим после вычисления интеграла в (5.6.28) следующее выражение для луча:

Далее мы выразим правую часть (5.6.30) в виде, который явно определяет амплитуду и фазу После громоздких, но простых вычислений находим, что

где величины каждая из которых является функцией z, определяются формулами

Поведение величин определяемое этими формулами, показано на рис. 5.19.

При подстановке уравнений (5.6.32) и (5.6.33) в (5.6.30) окончательно получим следующее выражение для монохроматического гауссовского луча (мы опускаем периодический временной множитель

Рис. 5.19. Поведение величин для монохроматического гауссовского луча как функции нормированного расстояния от сужения луча

Рис. 5.20. Иллюстрация геометрического смысла параметров, которые характеризуют монохроматический гауссовский луч. Величины и в определяются выражениями (5.6.34а), (5.6.345), (5.6.37) и (5.6.40), соответственно

Рассмотрим это выражение более детально.

Мы видим, что, так как луч распространяется от плоскости в полупространство амплитуда поля остается гауссовской в каждом поперечном сечении но его ширина увеличивается с ростом z. Амплитуда в каждом поперечном сечении уменьшается в раз относительно своего осевого значения на расстоянии от оси. По этой причине называют размером пятна на расстоянии z. Наименьший радиус луча согласно (5.6.34а) есть минимальный размер пятна а плоскость, в которой размер пятна принимает минимальное значение, называется перетяжкой луча.

Далее мы рассмотрим фазу скажем, гауссовского луча. Из (5.6.35) мы видим, что фаза изменяется от начального значения в плоскости сужения до значения

при распространении на расстояние z. Первый член справа представляет собой расстояние от плоскости источника, выраженное в единицах Второй член представляет расстояние, выраженное в тех же единицах, между сферической поверхностью радиуса и соответствующей z-плоскостью, на высоте от оси. Согласно (5.6.34г), центр сферической поверхности помещается на ось луча на расстоянии

за плоскость источника (т.е. в полупространстве (см. рис. 5.20). Последний член в правой части (5.6.36) представляет дополнительный фазовый сдвиг, который связан с так называемой аномальностью фазы вблизи фокуса (Born and Wolf, 1980, разд. 8.8.4).

Далее рассмотрим поведение луча в дальней зоне вторичного источника. Можно получить упрощенный вид выражения (5.6.35), соответствующего дальнему полю, подставляя в (5.6.35) асимптотические значения величин при . С другой стороны, выражение для луча в дальней

зоне можно получить, подставляя в общую асимптотическую формулу (5.6.8) функцию спектральной амплитуды (5.6.25) для гауссовского луча и используя тот факт, что для луча в дальней зоне Тогда получается следующее выражение для дальнего поля

где

в котором мы использовали приближение для малых углов

Из (5.6.38) мы видим, что амплитуда гауссовского луча в дальней зоне уменьшается в раз от своего значения на оси луча при где т.е. когда

Величина 6 известна как угловое расхождение гауссовского луча.

Окончательно определим интенсивность излучения для гауссовского луча. Согласно (5.2.12) интенсивность излучения определяется общей формулой

где спектральная плотность в точке дальней зоны, задаваемой радиус-вектором который образует с положительным направлением оси z угол 6. Кроме того, и) равна также квадрату амплитуды поля в точке Следовательно, из (5.6.38) для гауссовского луча мы имеем

Подставляя (5.6.42) в (5.6.41) и используя приближение характерное для луча, мы получим следующее выражение для интенсивности излучения монохроматического гауссовского луча:

За исключением тривиальной разницы в обозначениях, эта формула соответствует пределу когерентности выражения (5.4.16) для интенсивности излучения, создаваемого гауссовским источником модели Шелла в виде луча .