4.4.4. Теорема Ван Циттерта — Цернике

Одна из центральных теорем элементарной теории частичной когерентности была сформулирована Ван Циттертом (van Cittert, 1934) и позднее, в более общей форме, Цернике (Zernike, 1938). Она выражает корреляции в двух точках поля, излучаемого пространственно некогерентным, квазимонохроматическим, планарным источником.

Теорема Ван Циттерта — Цернике может быть легко получена из нашей формулы (4.4.29). Положим в (4.4.29) и вспомним, что согласно представляет собой просто взаимную интенсивность Если мы также сделаем в (4.4.29) аппроксимацию малых углов, описываемую выражением (4.4.23), то получим следующую формулу, которую иногда называют законом распространения Цернике для взаимной интенсивности:

Рис. 4.11. К выводу теоремы Ван Циттерта — Цернике

Теперь предположим, что незамкнутая поверхность совпадает с излучающей поверхностью а пространственно некогерентного планарного квазимонохроматического вторичного источника. Тогда для любых двух точек на а имеем:

где мера интенсивности в точке — двумерная дельта-функция Дирака. Наличие дельта-функции в правой части выражения (4.4.33) отражает тот факт, что два любых элемента источника полагаются взаимно некоррелированными. Это. безусловно, является идеализацией. Любой существующий в природе источник будет коррелирован, по крайней мере, в пределах области, размером порядка средней длины волны света. Это справедливо даже для источников, которые, вообще говоря, рассматриваются как пространственно полностью некогерентные (например, черное тело). Однако, если корреляции имеют место только на расстояниях, не превышающих средней длины волны, а линейные размеры такого источника значительно больше средней длины волны, как мы полагаем в данном случае, идеализация, описываемая (4.4.33), приводит, как правило, к хорошей аппроксимации для взаимной интенсивности поля.

Подставляя (4.4.33) в (4.4.32), получим формулу

где расстояния от точки источника до точек соответственно (см. рис. 4.11).

Нормируя (4.4.34) согласно (4.3.35), получим следующее выражение для (равновременнбй) комплексной степени когерентности поля, излучаемого нашим пространственно некогерентным источником а:

где

— интенсивность в точке поля

Формула (4.4.35) представляет собой математическую формулировку теоремы Ван Циттерта — Цернике. Она выражает равновременную степень когерентности в двух точках поля, излучаемого планарным, пространственно некогерентным, квазимонохроматическим источником через распределение интенсивности вдоль источника и интенсивности в двух точках поля. Подчеркнем, что при выводе формулы (4.4.35) мы полагали, что разность хода мала по сравнению с длиной когерентности света, а также полагали малыми углы между линиями и нормалью к плоскости источника.

Интеграл в правой части выражения (4.4.35) совпадает с интегралом, который часто встречается нам в другом случае, а именно, при вычислениях на основе теории дифракции Гюйгенса — Френеля — Кирхгофа (Born and Wolf, 1980, разд. 8.2 и разд. 8.3). Точнее говоря, теорема Ван Циттерта — Цернике, выражаемая формулой (4.4.35), гласит, что при указанных условиях равновременная степень когерентности равна нормированной комплексной амплитуде некоторой дифракционной картины в точке Эта дифракционная картина получится, если заменить источник дифракционным отверстием такого же размера и формы и заполнить его монохроматической сферической волной с частотой сходящейся в причем распределение амплитуд вдоль отверстия должно быть пропорциональным распределению интенсивности по источнику.

Во многих случаях, представляющих практический интерес, точки расположены в дальней зоне поля источника. При этом теорема Ван Циттерта — Цернике приобретает более простой вид.

Рис. 4.12. К выводу теоремы Ван Цнттерта — Церннке для дальней зоны

Пусть начало координат О лежит в области источника единичные вектора в направлениях от точки О до точек (см. рис. 4.12). Тогда

Рассмотрим интеграл из (4.4.35) в предельном случае, когда при условии, что два направления, задаваемые единичными векторами фиксированы. Если достаточно велики, то

Подставляя (4.4.38) в формулы и пренебрегая в знаменателе членами по сравнению с соответственно, получим следующие упрощенные формулы

Мы видим, что в случае, когда точки расположены в дальней зоне источника, взаимная интенсивность и равновременная степень когерентности могут быть выражены через фурье-преобразование распределения интенсивности вдоль источника Формулу (4.4.40) можно считать теоремой Ван Циттерта — Цернике для дальней зоны.

В качестве примера рассмотрим однородный некогерентный, квазимонохроматический источник в виде круга радиуса а с центром в точке О. Для простоты предположим, что точки расположены в дальней зоне на одинаковом расстоянии от начала координат О и близко к нормали. При этом выражение (4.4.40) приобретает вид

Для вычисления интеграла в числителе (4.4.41) запишем

где двумерные вектора, представляющие собой проекции трехмерных векторов на плоскость источника. Тогда формула (4.4.41) переходит в

Интеграл в правой части (4.4.43) хорошо известен из теории дифракции Фраунгофера на круглом отверстии (см., например, Born and Wolf, 1980, разд. 8.5.2). Подставляя его значение в (4.4.43), находим

Здесь

функция Бесселя первого рода первого порядка. Заметим, что поскольку

переменная может быть также представлена в виде

где очевидно, представляет собой расстояние между точками

Рис. 4.13. Функция

Поведение функции которая в нашем примере согласно (4.4.44) представляет собой равновременную степень когерентности, показано на рис. 4.13. Мы видим, что она монотонно уменьшается от значения, равного единице при до нулевого значения при Таким образом, по мере увеличения расстояния между точками (равновременная) степень когерентности сначала монотонно убывает. Полная некогерентность достигается при

При дальнейшем увеличении расстояния вновь возникает небольшая когерентность, но ее степень по модулю остается меньше 0.14. Полная когерентность вновь наступает при Проходя через нуль, функция каждый раз меняет знак, следовательно, фаза комплексной степени когерентности при этом изменяется на

Функция монотонно уменьшается от значения, равного единице при до 0.88 при т.е. при

На практике отклонение, не превышающее от идеального значения, равного единице, считается несущественным. Следовательно, пространственно некогерентный, квазимонохроматический, однородный источник в виде круга радиуса а почти когерентно освещает в дальней зоне поля, в плоскости, параллельной плоскости источника, и вблизи направления нормали к этой плоскости, площадку в виде круга диаметра где угловой радиус, под которым источник виден из . Заметим, что т.е.

где площадь источника. Это выражение по порядку величины согласуется с соотношением (4.2.6), которое мы получили ранее, исходя из элементарных рассуждений.