Приложение 5.1 Вывод асимптотического приближения (5.7.103)

Согласно (5.7.99), имеем

где (вместо пишем

и

где

Пусть

Тогда формула принимает вид

где

Асимптотическое поведение интеграла при можно определить, используя принцип стационарной фазы для двойных интегралов (см. разд. 3.3.3). В этом предельном переходе принимается, что источник остается прежним, т.е. спектр в интеграле остается заданным. Мы должны сначала определить местоположение критических точек первого рода подынтегрального выражения. Они представляют собой точки, в которых функция стационарна в области источника а относительно т.е. когда

в области где означают первые частные производные от по х и у соответственно. Теперь из уравнений мы имеем

Из следует, что если точка является критической точкой первого рода, то она должна удовлетворять уравнениям

Возводя в квадрат левую и правую стороны этих уравнений, мы получим совместные уравнения для величин Они легко решаются, и, следовательно, имеем

или, более точно, в векторном виде, с

Формулы показывают, что функция имеет одну и только одну стационарную точку на плоскости источника Эта точка будет критической точкой первого рода подынтегрального выражения в правой части только если она расположена в области источника а. На рис. 5.29 (см. текст) проиллюстрирован геометрический смысл этой точки, которая обозначена как

Согласно общей формуле (3.3.41) асимптотическое приближение к интегралу определяется выражением [если игнорировать зависимость функции от что является оправданным по причинам, которые объяснялись в разд. 5.7.5]

где

и

Нами предположено, что Член означает вторую частную производную от по х, и т.д. Эти производные легко получаются при дифференцировании выражений Тогда получаем следующие формулы:

Подставляя можно легко получить значения этих величин в критической точке Находим

где мы использовали тот факт, что

как следует из уравнений

Подставляя в формулы находим, что

Более того, подставляя формулы и используя получим для и для следующие выражения

При подстановке уравнений в общую формулу мы находим

при условии, что точка определяемая формулой лежит в области интегрирования (область источника). Если это не так, то вклад в асимптотическое разложение для дают критические точки второго рода, которые расположены на граничной кривой области а (см. разд. 3.3.2(6)). Эти точки (за исключением некоторых специальных случаев)

Наконец, подставляя мы видим, что при к

где определяется формулой Выражение есть не что иное, как формула (5.7.103), используемая в тексте.