с собственным значением 
которое отрицательно для связанного электрона и порядка 
что типично для многих фотоиспускаюгцих поверхностей. Другими словами, если мы запишем 
то 
— это некоторая оптическая частота порядка 
Под влиянием электромагнитной волны, представленной векторным потенциалом 
электроны могут совершать индуцированные переходы из связанного состояния 
в одно из состояний континуума с положительной энергией собственных состояний 
с испусканием электрона. Предположим, что после некоторого усиления испущенные электроны регистрируются счетчиком. Искомая по формуле (9.2.9) вероятность перехода в свободное состояние за короткий интервал времени 
принимает вид
где гамильтониан взаимодействия 
согласно (9.2.2) и (9.2.3) задается выражением
Следовательно,
Мы использовали тот факт, заложенный в выражениях (9.3.1) и (9.3.2), что состояния 
являются как левыми, так и правыми собственными состояниями 
. Если поле квазимонохроматично и центрировано на частоте 
и если интервал 
выбран много длиннее периода 
но все же короче, чем время когерентности света, то вполне законно представить 
под знаком интеграла в виде
Здесь 
это представление 
в виде аналитического сигнала (разд. 3.1) и 
это медленно меняющаяся огибающая функция, которая не меняется значительно на временах, коротких по сравнению со временем когерентности, так что для малых 
Следовательно, с помощью выражения (9.3.5) мы получим
Теперь мы выбираем 
положительным и считаем 
оптическими частотами порядка 
так что слагаемое, пропорциональное 
осциллирует с очень высокой частотой для всех положительных значений энергии 
Следовательно, его вклад в интеграл будет очень малым, если 
Слагаемое с 
с другой стороны, осциллирует гораздо медленнее и вносит значительный вклад, когда 
Поэтому будет справедливо пренебречь слагаемым с 
в уравнении (9.3.7), и мы получим после интегрирования
так что из (9.3.3)
Эта формула описывает вероятность того, что фотоэлектрон совершает переход из связанного состояния 
в свободное состояние 
за время 
Если мы интересуемся только вероятностью того, что электрон становится свободным, не интересуясь конечным состоянием, то нам необходимо просуммировать это выражение по всем положительным состояниям. На практике обычно заменяют такую сумму интегралом по 
с помощью плотности состояний 
так что 
дает число электронных состояний, лежащих внутри энергетического интервала 
Более того, процесс детектирования может зависеть от энергии электронов, и мы должны учесть эту возможность с помощью умножения на некоторую функцию отклика 
перед выполнением интегрирования. Тогда для вероятности детектирования электрона мы получим следующую формулу
Поведение подынтегрального выражения определяется последним множителем, который имеет пик при 
и быстро спадает к нулю с любой стороны от пика. Действительно, поведение этого множителя похоже на дельта-функцию, когда 
и в первом приближении его можно заменить на 
При условии, что 
так что пик спадает в пределах интервала интегрирования и при условии, что 
меняются медленно в окрестности 
эти множители могут считаться имеющими примерно постоянные значения 
под знаком интеграла. Тогда интегрирование может быть проведено, и окончательно мы получим
Когда 
вероятность детектирования очень мала, потому что главный пик дельта-подобной функции попадает за пределы области интегрирования. В (9.3.9) мы записали 
где 
единичный вектор поляризации, характеризующий поляризацию падающего света, и 
мгновенная интенсивность света 
Поэтому вероятность фотодетектирования за короткое время 
пропорциональна интенсивности света и времени 
Оставшиеся множители не зависят от силы оптического поля, хотя они могут зависеть от его частоты и от его поляризации. Если освещенная фотоэлектрическая поверхность содержит 
связанных электронов, и если свет в виде плоской волны нормально падает на фотокатод, а также если связанные состояния незначительно истощены, и если различные фотовылеты не влияют друг на друга, то тогда следует ожидать, что вероятность фотодетектирования 
в пределах 
будет пропорциональна множителю
Теперь 
это произвольная точка в пределах освещенной поверхности фотокатода, и
— константа, характеризующая эффективность детектора для определенной частоты и определенной поляризации. В гл. 14 мы увидим, что несколько более подробное полностью квантовое рассмотрение приводит
по сути к тем же результатам. Конечно, следует понимать, что 
заданная выражением (9.3.10), — это дифференциальная вероятность, которая имеет смысл лишь до тех пор, пока 
Если интенсивность света 
столь высока, что это условие не выполняется, даже если мы выберем 
лишь на порядок величины большим периода оптической волны, то, очевидно, разложение по теории возмущений, которое мы использовали для решения уравнения (9.2.7), не может быть завершено на низшем неисчезающем члене. В этом случае существуют значительные вклады высших порядков во взаимодействие, и вероятность детектирования не пропорциональна просто мгновенной интенсивности света 
В дальнейшем мы не будем принимать во внимание эту возможность, реализация которой требует крайне высоких интенсивностей света.
Полезно указать ряд свойств простого решения (9.3.10):
(а) Фотоэлектрическое условие Эйнштейна 
определяющее минимальную пороговую частоту фотоэмиссии, естественным образом возникает даже из полу классического анализа без явного введения концепции фотонов.
(б) Когда условие 
выполняется, существует ненулевая вероятность испускания фотоэлектронов в детекторе под действием света, независимо от того, как мало поле.
(в) Вероятность детектирования пропорциональна 
после выполнения суммирования по конечным состояниям, так что можно говорить о мгновенной скорости фотоэлектрической эмиссии.
(г) Хотя изначально мы характеризовали электромагнитное поле с помощью действительного векторного потенциала 
в ходе рассмотрения естественным образом возникает представление поля в виде аналитического сигнала (см. разд. 3.1) 
Полностью квантовый анализ в гл. 14 покажет, что это происходит, потому что 
тесно связан с квантовым оператором, соответствующим поглощению фотона.
есть собственное состояние 
невозмущенного гамильтониана электрона 
