18.4.3. Стационарная вероятность

Рассмотрим стационарное решение уравнения (18.4.25). В установившемся режиме и имеет место детальное равновесие между соседними состояниями, так что (см. рис. 18.17)

Сразу видно, что эти два уравнения эквивалентны и имеют следующее решение

Данная формула является рекуррентным соотношением, многократное применение которого приводит к результату

Если бы мы исходили из уравнения (18.4.24), которое получено в результате обрыва разложения по теории возмущений на втором неисчезающем члене, то пришли бы к следующему результату:

Формулы (18.4.29) и (18.4.28) эквивалентны, когда достаточно мало. Только в том случае, когда лазер работает при значительном превышении порога, нам необходимо делать различие между двумя этими выражениями и использовать (18.4.28). Выражение (18.4.28) можно записать в эквивалентном виде

Данное распределение вероятностей приближается к пуассоновскому, когда лазер работает при таком превышении порога, что число фотонов значительно превышает Однако, это означает, что А С, а такое условие не всегда достижимо в стационарном режиме. Часто коэффициенты усиления А и потерь С сравнимы, и число фотонов существенно меньше Нетрудно показать, что (18.4.30) приобретает в этих условиях аналитически более простой вид.

Начнем с того, что заменим -функцию разложением Стирлинга с. 822)

и подставим данное выражение в (18.4.30). В результате получим

где в последней строке мы разложили логарифмическую функцию в степенной ряд относительно малого параметра Это приводит к соотношению

где О обозначает бесконечно малую высшего порядка. С помощью подстановок

выражение (18.4.32) упрощается следующим образом:

Такое же выражение получится, если исходить из (18.4.29). Данное распределение является усеченным гауссовским распределением величины если не считать того, что дискретная, а не непрерывная переменная. Полученный результат можно сравнить с выражением (18.3.17) для распределения вероятности классической интенсивности света Два распределения идентичны, если рассматривать как почти непрерывную и отождествить с интенсивностью света Безразмерный параметр а, введенный в (18.4.34), есть параметр накачки лазера. Он положителен выше порога, когда и отрицателен ниже порога, когда Рис. 18.6, иллюстрирующий форму распределения вероятностей классической интенсивности света для различных значений параметра накачки, показывает, следовательно, и формы распределения Более того, тот же расчет, который был сделан в разд. 18.3 для определения первых двух моментов интенсивности света, дает теперь следующие моменты величины

Хотя выражение (18.4.35) довольно похоже на полуклассическое выражение (18.3.17), оно, в отличие от последнего, предоставляет информацию об абсолютном числе фотонов.

Раскроем физический смысл по- Из (18.4.36) следует, что на пороге, когда Следовательно, с точностью до множителя порядка единицы, по есть среднее число фотонов, имеющихся в резонаторе на пороге. Из определения (18.4.33) и приближенного значения находим, что для типичного лазера число фотонов по порядка нескольких тысяч. Следовательно, условие которое использовалось при выводе (18.4.35), эквивалентно неравенству

Тогда из выражения (18.4.34) следует, что

когда А к, С, и

что является альтернативным определением параметра накачки а. При значительном превышении порога, когда а 1, выражение (18.4.36) дает

так что среднее число фотонов есть разность между коэффициентами усиления и потерь, деленная на коэффициент насыщения.

Условие По, которое предполагалось при выводе (18.4.35), можно теперь преобразовать в условие, налагаемое на параметр накачки а. С учетом (18.4.40) получаем

Поскольку по, обычно, как минимум равно нескольким тысячам, то безразмерный параметр а может достигать 100 без противоречия с условиями . Таким образом, возможно, что лазер работает при значительном превышении порога и все еще хорошо описывается уравнениями движения, для которых разложение по теории возмущений обрывается на втором неисчезающем члене. Однако, необходимо подчеркнуть, что это не предел для параметра накачки, и что при данном уровне возбуждения еще далеко от пуассоновского. На рис. 18.18 показаны для сравнения форма распределения задаваемого выражением (18.4.30) при и значении параметра накачки около 500, что соответствует и форма пуассоновского распределения с тем же средним. Последнее было бы характерно для поля в когерентном состоянии.

Рис. 18.18. Сравнение распределения вероятностей числа фотонов, задаваемого выражением (18.4.30) при с распределением Пуассона, имеющим то же значение среднего (Scully and Lamb, 1967)

Распределение вероятностей как и распределение можно легко связать с измерениями числа фотоотсчетов, если предположить, что каждый фотон в лазерном резонаторе имеет одинаковую малую вероятность вылета из резонатора и регистрации фотодетектором в течение определенного временного интервала. Если имеется фотонов, то вероятность того, что из них будут сосчитаны в эксперименте задается распределением Бернулли

В более общем случае, когда фотонов характеризуются распределением вероятностей вероятность регистрации фотоэлектрических отсчетов задается сверткой

Из этого соотношения сразу следует, что факториальные моменты числа фотоотсчетов пропорциональны соответствующим факториальным моментам числа фотонов Ибо

Третья строка следует из второй, если изменить порядок суммирования и положить Таким образом, измерения факториальных моментов числа фотоотсчетов можно очень легко связать с расчетной статистикой фотонов. Однако вследствие близкого соответствия между (18.3.17) и (18.4.35), предсказания квантовой теории лазера для фотоэлектрического счета существенно не отличаются от предсказаний полуклассической теории с учетом квантового шума.