2.9.2. Стационарное решение уравнения Фоккера — Планка

Уравнение Фоккера — Планка (2.9.8) всегда можно формально переписать в виде

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование), в котором величина

известна как плотность тока вероятности. Уравнение (2.9.9) описывает закон сохранения для вероятности. Рассмотрим стационарное решение уравнения (2.9.9) в случае, когда не зависят от времени, и является диагональной, т.е. когда

В стационарном состоянии так что на основе уравнения (2.9.9) расходимость плотности тока вероятности также стремится к нулю. В одномерном случае под этим подразумевалось бы, что скалярная величина постоянна и, таким образом, плотность вероятности и его производные стремятся к бесконечности, тогда из уравнения следует, что константа должна быть равна нулю. Однако в многомерном случае совсем не очевидно, что

есть самое общее стационарное решение (нижний индекс означает стационарное состояние), потому что в стационарном состоянии любой вектор плотности тока удовлетворяет уравнению (2.9.9). В дальнейшем в качестве отправной точки для получения стационарного решения уравнения Фоккера — Планка (2.9.9) мы будем использовать уравнение (2.9.12).

Если решение в стационарном состоянии, то уравнение (2.9.12) означает, что

так что

или

Вследствие того, что вектор справа представляет собой градиент от скалярного поля оно должно быть потенциальным и, следовательно,

Однако тоже является потенциальным и, значит, его можно выразить как градиент от скаляра. Положим

где скалярный потенциал, который можно выразить в виде линейного интеграла от некоторой начальной точки до х вдоль любого пути

Тогда, комбинируя (2.9.13) с (2.9.14), имеем

Это уравнение можно сразу проинтегрировать, и мы получим

или

где К — нормированная константа. Так как определена с точностью до константы, то нормировка часто включается в определение потенциала и константу К можно приравнять единице.