5.4.1. Теорема эквивалентности для плоских источников

Согласно (5.3.8) интенсивность излучения, создаваемая плоским, вторичным источником, определяется формулой

где четырехмерный пространственный фурье-образ (5.3.7) взаимной спектральной плотности распределения поля в плоскости источника, а именно,

где интегрирование формально выполняется по всей плоскости источника.

Согласно (5.4.1) интенсивность излучения полностью определяется определенными пространственными компонентами Фурье взаимной спектральной плотности а именно, теми компонентами, которые обозначены парой пространственно-частотных векторов удовлетворяющих соотношению Говорят, что соответствующие фурье-компоненты W являются антидиагональными компонентами. Более того, как мы уже отмечали и как очевидно из (5.4.1), только низкие пространственно-частотные фурье-компоненты, т.е. компоненты, для которых появляются в выражении для интенсивности излучения. Следовательно, мы имеем следующую теорему эквивалентности для интенсивности излучения согласно Коллету и Вольфу (Collett and Wolf, 1978; см. также Collett and Wolf, 1979; Saleh, 1979; Saleh and Irshid, 1982): Два плоских, вторичных источника, для которых функции взаимной спектральной плотности имеют одинаковые низкочастотные антидиагональные пространственные фурье-компоненты, генерируют одинаковое распределение интенсивности излучения.

Важно понимать, что даже несмотря на то, что антидиагональные низкочастотные элементы двух источников могут быть идентичными, другие низкочастотные элементы (для которых могут быть полностью различными. Следовательно, в общем случае два источника будут иметь различные свойства когерентности и различные пространственные распределения их спектральных плотностей. Это, в свою очередь, означает, что, как можно непосредственно видеть из уравнений (5.3.4) и (5.3.6), хотя два источника создают одинаковую интенсивность излучения, дальние поля, которые они создают, будут иметь различные свойства когерентности.

Нетрудно понять физические причины того, почему совершенно различные источники могут генерировать одинаковое распределение интенсивности излучения. Для этой цели выразим сначала взаимную спектральную плотность источника через его спектральную плотность и его спектральную степень когерентности [см. (4.3.476)]:

Подставляя (5.4.3) в (5.4.2) и полагая мы получим следующее выражение для низкочастотных антидиагональных фурье-компонент взаимной спектральной плотности источника:

Мы видим, что в правой части уравнения (5.4.4) под знаком интеграла появляются как спектральная плотность, так и спектральная степень когерентности источника. Поэтому величина а следовательно и интенсивность излучения (5.4.1), может быть одинаковой, даже когда два источника полностью различны. Иначе говоря, можно заменить другими функциями соответственно, без изменения величины интеграла в (5.4.4). Следовательно, можно сделать «обмен» между когерентностью и пространственным распределением спектральной плотности источника, не нарушая распределение интенсивности излучения источника.

Другая формулировка теоремы эквивалентности может быть основана на формуле (5.3.10), а именно

а не на формуле (5.4.1). Здесь двумерный пространственный фурье-образ полной взаимной спектральной плотности

Формула (5.4.5) сразу доказывает следующую альтернативную формулировку теоремы эквивалентности для интенсивности излучения: два плоских источника, для которых полная взаимная спектральная плотность имеет одинаковые низкочастотные фурье-компоненты, будут генерировать одинаковое распределение интенсивности излучения.

Интересное следствие из только что рассмотренной теоремы эквивалентности состоит в возможности изготовления источников, которые являются некогерентными в глобальном смысле, но которые могут, тем не менее, генерировать сильно направленные поля. В частности, такие источники могут создавать такое же распределение интенсивности излучения, как и полностью когерентный лазерный источник. В следующих двух подразделах (5.4.2 и 5.4.3) будут приведены примеры таких эквивалентных источников.