17.3. Основные кинетические уравнения

При изучении временной эволюции взаимодействующих квантовых систем в картине Шредингера основная задача состоит в определении временного развития вектора состояния или оператора плотности интересующей нас системы. Даже решение этой задачи не позволяет вычислить многовременную функцию корреляции без дополнительной информации о функции Грина системы, хотя эту проблему иногда можно обойти при помощи флуктуационно-диссипационной теоремы. Тем не менее, уравнение движения,

как для полного, так n для приведенного оператора плотности, должно иметь решение в виде функции от времени. Такое уравнение называется основным кинетическим уравнением, хотя такое же название иногда применяют для уравнений движения различных вероятностных распределений. За многие годы был получен целый ряд мощных и достаточно общих основных кинетических уравнений Далее мы рассмотрим только две специальные формы основного кинетического уравнения и покажем, как их можно вывести.

17.3.1. Основное кинетическое уравнение Паули

Одна из первых форм основного кинетического уравнения была получена Паули (Pauli 1928, см. также Van Hove 1955, 1957, 1962). Мы выведем его сначала для классической системы, а затем рассмотрим, при каких условиях квантовая система удовлетворяет такому же уравнению движения.

Рассмотрим состояние классической системы или дискретного случайного процесса (ср. гл. 2), характеризуемое некоторым целым числом так что значение появляется с вероятностью Если скорость перехода из состояния в состояние зависит только от так что процесс является марковским, то скорость изменения должна равняться разности между скоростью возрастания населенности состояния вследствие переходов с других состояний, и скоростью уменьшения его населенности, вследствие переходов в другие состояния. Таким образом,

Это уравнение есть основное кинетическое уравнение Паули для вероятности и имеет форму скоростного уравнения. В принципе, оно может быть решено относительно если известны все скорости переходов В частном случае, когда система подчиняется принципу детального равновесия, получаем стационарное решение

которое можно рассматривать как рекуррентное соотношение, позволяющее вычислить все скажем, через

Когда мы рассматриваем квантовую систему, временная эволюция которой определяется квантовой механикой, мы обнаруживаем, что уравнение движения типа (17.3.1) выполняется только при определенных обстоятельствах, несмотря на его, казалось бы, универсальный характер. Рассмотрим полное орто-нормированное множество состояний которые являются собственными состояниями невозмущенного гамильтониана Пусть оператор плотности системы в момент времени в картине взаимодействия. При воздействии некоторого возмущения оператор плотности изменяется во времени согласно уравнению

где унитарный оператор эволюции для бесконечно малого интервала времени задается формулой

Вероятность перехода из состояния в момент времени в состояние в момент определяется соотношением

с условиями нормировки

Хорошо известно, что если энергетический спектр является непрерывным или плотно распределенным, то вероятность перехода из состояния с энергией в состояние с энергией пропорциональна и определяется золотым правилом Ферми

Поэтому скорость перехода при равна

Теперь воспользуемся этими результатами для вычисления скорости изменения вероятности записывая

Из уравнения (17.3.3) получаем

где последняя строка получается из предыдущей после вставки единичных операторов между и между и соответственно.

Это основное уравнение движения для В общем случае оно не является скоростным уравнением и не сводится к уравнению (17.3.1) без дальнейших допущений. Вклады осциллирующих слагаемых с в общем случае менее значительны, чем вклады слагаемых с но, строго говоря, их нельзя отбрасывать. Однако если принять так называемую гипотезу случайных фаз и считать оператор плотности в момент времени диагональным в базисе так что то с помощью уравнения (17.3.6) получим

и это уравнение, с учетом (17.3.7), становится тождественным уравнению (17.3.1). Таким образом, квантовая система удовлетворяет основному кинетическому уравнению Паули только тогда, когда оператор плотности диагонален в базисе Причиной этого, конечно, является то, что система не обязательно находится в одном из состояний с вероятностью если не является диагональным. В этом случае она может находиться в суперпозиционном состоянии. Действительно, даже если оператор плотности диагонален в момент времени он не может оставаться строго диагональным в последующие моменты времени при наличии взаимодействия Таким образом, гипотеза случайных фаз и основное кинетическое уравнение Паули справедливы только в некотором ограниченном смысле, который можно уточнить (Van Hove, 1955, 1957, 1962; Zwanzig, 1961; Montroll, 1961; Prigogine, 1962; Agarwal, 1973, 1974). Тем не менее, при рассмотрении некоторых задач данное уравнение оказывается полезным.