12.4. Интерференционные эксперименты; корреляционные функции второго порядка

Корреляционные функции, возникающие в связи с фотоэлектрическими измерениями поля, являются функциями особого рода. Они нормально упорядочены, имеют одинаковое число операторов рождения

и уничтожения, и каждый аргумент у них повторяется, появляясь один раз при операторе рождения и один раз при операторе уничтожения. Однако в интерференционных экспериментах, в которых складываются два или более пучка и измеряется результирующая интенсивность, мы, как и при классическом рассмотрении в разд. 4.3, сталкиваемся с корреляционной функцией второго порядка.

Рис. 12.3. Схема простого интерференционного эксперимента, в котором световые волны из точек накладываются в точке

Рассмотрим простой интерференционный эксперимент, показанный на рис. 12.3, в котором оптическое поле в некоторой точке содержит вклады от двух пучков, исходящих из небольших отверстий в точках и -Если каждый из этих лучей можно по очереди блокировать, не возмущая другой, то мы можем описать суммарное поле с помощью совместного весового функционала (см. разд. 11.8). Далее, интегрируя по одному или другому набору комплексных чисел или можно получить весовой функционал или для поля, связанного с одним или другим пучком в отдельности. Таким образом,

в то время, как весовой функционал для суммарного поля складывающихся пучков представляется выражением [ср. (11.8.24)]

Предположим, что мы хотим измерить интенсивность света в точке в момент времени Соответствующая ожидаемое значение есть

в соответствии с оптической теоремой эквивалентности, где правые и левые собственные значения, принадлежащие когерентному состоянию операторов и соответственно. После подстановки из (12.4.3) в (12.4.4), полагая получаем

Здесь собственные значения оператора принадлежащие когерентным состояниям эти значения являются комплексными функциями, получаемыми при подстановке или в разложении Понятно, что относятся к полям, создаваемым каждым пучком в отдельности.

Как и прежде первые два члена в правой части (12.4.5) описывают средние интенсивности света в от каждого пучка в отдельности, в то время как член описывает корреляцию в между этими двумя полями.

В соответствии с оптическим законами распространения волн, которые непосредственно следуют из уравнений Максвелла, просто относятся к полям в более ранние моменты времени, где . Для приблизительно квазимонохроматических полей, имеющих вид плоской волны, имеем

исходя из тех же рассуждений, что и в разд. 4.3. В таком случае взаимная корреляционная функция, появляющаяся в выражении (12.4.5), имеет вид

и представляет собой нормально упорядоченную корреляционную функцию второго порядка, все пространственные и временные аргументы которой в общем случае различны, что в точности соответствует классической теории.

В таком случае с помощью (12.4.6) и (12.4.7) выражние (12.4.5) для ожидаемого значения суммарной интенсивности принимает вид

Здесь схожесть (12.4.9) с соответствующим классическим результатом (4.3.5) сразу заметна. Для небольших выражение (12.4.9) предсказывает синусоидальную модуляцию относительной амплитуды модуляции по отношению к

что также типично и для соответствующего уравнения в классическом случае. Второй множитель представляет степень когерентности второго порядка. Конечно же, для стационарного поля средние интенсивности поля не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности между временными аргументами.