18.3.4. Моменты интенсивности света

Используя распределение вероятности (18.3.17), мы можем легко вычислить моменты интенсивности света как функции параметра накачки a (Risken, 1956, 1966, 1970; Risken and Vollmer, 1967a, b; Hempstead and Lax, 1967). Например, для средней интенсивности имеем

После замены переменных данное выражение принимает вид

Введем теперь обычным образом гауссовскую функцию ошибок

Эта функция имеет свойства так что средняя интенсивность света сразу выражается в виде

При больших значениях параметра накачки а второе слагаемое оказывается малым и дает малую поправку к решению задаваемому формулой (18.3.19). Для больших отрицательных значений параметра накачки а опять получаем результат (18.3.21) после асимптотического разложения функции ошибок. На пороге, когда в наших безразмерных единицах получаем На рис. 18.11а показан график средней интенсивности света как функции параметра а. Приведенную кривую следует сравнить с кривой на рис. 18.4, которая получена на основе детерминированного уравнения движения лазера. Основное отличие состоит в том, что средняя интенсивность света не равна нулю ниже порога, поскольку некоторое количество света излучается в любых условиях вследствие спонтанного излучения, так что на пороге разрыв отсутствует. Значительно ниже порога асимптотическое разложение функции ошибок дает Эти результаты подтверждены экспериментально (см. рис. 18.116,в).

Таким же способом можно вычислить моменты интенсивности света более высокого порядка по формуле

Используя ту же, что и выше, замену переменных, можно легко показать, что дисперсия задается соотношением

Данное выражение стремится к 2 при больших а, что согласуется с (18.3.19). На пороге Последнее число является удобным для практического определения лазерного порога. Формулы (18.3.27) и (18.3.28) позволяют построить график зависимости отношения от средней интенсивности Результат расчета (непрерывная кривая на рис. 18.12) хорошо согласуется с результатами фотоэлектрических корреляционных измерений и измерений числа фотоотсчетов (Freed and Haus, 1966а, b; Smith and Armstrong, 1966; Arecchi, Rodary and Sona, 1967; Davidson and Mandel, 1967; Chang, Korenman, Alley and Detenbeck, 1969). Напомним [см. (14.9.4)], что число фотоотсчетов регистрируемых освещаемым фотодетектором в течение времени, которое намного короче времени корреляции интенсивности, имеет факториальные моменты, которые просто связаны с моментами интенсивности света, а именно,

Таким образом, моменты интенсивности легко определяются по результатам измерений числа фотоотсчетов. С другой стороны, можно построить график зависимости непосредственно от параметра а и получить кривую, показанную на рис. 18.13. Однако этот вариант труднее подтверждается экспериментом, что обусловлено сложностью определения параметра накачки. Фактически а часто определяется по результатам измерений с помощью соотношений (18.3.27) и (18.3.28). Мы не будем прямо вычислять моменты интенсивности света высших порядков, поскольку оказывается проще вычислить

Рис. 18.11. (см. скан) а — Теоретическая зависимость средней интенсивности лазерного поля от параметра накачки; б и в — измеренная зависимость средней интенсивности лазерного поля от относительной инверсии населенностей выше критического значения и от параметра накачки выше и ниже порога; в — существенно ниже порога. (Из работы Corti and Degiorgio, 1976b)

кумулянты (ср. разд. 1.4), которые связаны с моментами и могут быть получены друг из друга последовательным дифференцированием (Risken, 1965, 1966, 1970). Для того, чтобы это показать, определим

Тогда производящая функция моментов интенсивности (ср. разд. 1.4) задается соотношением

и моменты интенсивности I можно получить последовательным дифференцированием функции Например, средняя интенсивность записывается в виде

Теперь кумулянты плотности вероятности определяются как коэффициенты при

Рис. 18.12. Зависимость относительной среднеквадратичной флуктуации интенсивности лазерного поля от средней интенсивности. Сплошная кривая построена по формулам (18.3.27) и (18.3.28). Масштабный множитель для логарифмической шкалы интенсивности подобран таким образом, чтобы достигалось лучшее соответствие экспериментальным значениям. (Из работы Davidson and Mandel, 1967)

Рис. 18.13. Теоретическая зависимость относительной среднеквадратичной флуктуации интенсивности от параметра накачки а в разложении по степеням (ср. разд. 1.4), так что

Последняя строка сразу следует из (18.3.31). Первый кумулянт к есть как раз средняя интенсивность света а последующие кумулянты получаются последовательным дифференцированием. Вид первых четырех кумулянтов как функций от а показан на рис. 18.14.

Практически, часто предпочтительнее работать с нормированными кумулянтами

Рис. 18.14. Первые четыре кумулянта интенсивности лазерного поля как функции параметра накачки a (Risken, 1970)

Зависимость от нормированной средней интенсивности лазерного света была проверена до значений в ходе измерений числа фотоотсчетов (Chang, Korenman, Alley and Detenbeck, 1969). Результаты, показанные на рис. 18.15, демонстрируют хорошее согласие между теорией и экспериментом. Поскольку кумулянт есть мера собственных флуктуаций порядка (или, в определенном смысле, собственных n-фотонных корреляций), то эти измерения являются довольно сильной проверкой стационарного решения (18.3.17). Таким образом, стационарная теория лазера имеет очень хорошее экспериментальное подтверждение.

Перед тем, как возвратиться к нестационарному уравнению движения (18.3.4) и исследовать его общее решение, мы рассмотрим лазер в рамках квантовой теории излучения. Мы увидим в разд. 18.5 с помощью диагонального представления по когерентным состояниям, которое обсуждалось в разд. 11.8, и с помощью некоторых приближений, что квантовая теория приводит к тому же уравнению Фоккера — Планка (18.3.4), что и полуклассическая теория с учетом шума.

Рис. 18.15. Зависимость нормированных второго третьего (б) и четвертого (в) кумулянтов интенсивности лазерного поля от средней его интенсивности. Точки — экспериментальные значения, кривые — результаты теоретического расчета. (Из работы Chang, Korenman, Alley and Detenbeck, 1969)