6.5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка для распространения тензоров когерентности

В силу того, что электрические и магнитные поля связаны уравнениями Максвелла, корреляционные матрицы или, что то же самое, корреляционные тензоры, которые представляют такие матрицы, не независимы друг от друга. Мы сейчас выведем главные соотношения, которые существуют между ними.

Для начала выразим уравнения Максвелла в тензорной форме. Для этого вспомним, что векторное произведение любых двух векторов может быть записано как

где это полностью антисимметричный единичный тензор Леви-Чивита, т.е. или —1 в зависимости от того, являются ли индексы четной или нечетной перестановкой целых чисел 1, 2, 3, и когда два (или более) индекса равны. Декартовы компоненты теперь обозначаются индексами 1, 2, 3, а не Если в тождестве (6.5.16) а представляет собой векторный оператор то получаем

В силу того, что мы будем иметь дело с функциями, которые зависят от положения в двух точках мы должны различать два дифференциальных оператора. Будем использовать верхние индексы 1 или 2 в соответствии с тем, как оператор действует по отношению к координатам т.е.

В этих обозначениях уравнения Максвелла в свободном пространстве для каждой реализации ансамбля комплексного поля могут быть выражены в виде

Здесь мы опять используем правило суммирования Эйнштейна, т.е. повторение индексов означает суммирование по всем возможным значениям индекса.

Возьмем комплексное сопряжение уравнения (6.5.19) и умножим его на Тогда мы получим соотношение

Далее мы положим и зафиксируем Тогда и мы найдем из уравнения (6.5.23), проведя усреднение по ансамблю и в результате записав вместо что

или, в терминах тензоров когерентности и представленных матрицами [выражения (6.5.2а) и (6.5.2г)],

Таким же образом мы можем вывести из уравнения Максвелла (6.5.19) следующее уравнение, которое связывает тензоры когерентности и [выражения (6.5.26) и (6.5.2в)]:

Из второго уравнения Максвелла (6.5.20) мы можем вывести таким же образом следующие уравнения, которые связывают тензоры и и соответственно:

Далее мы рассмотрим некоторые следствия уравнений с дивергенцией (6.5.21) и (6.5.22). Если мы возьмем комплексное сопряжение уравнения (6.5.21), умножим его на 2), проведем усреднение по ансамблю и используем тот факт, что поле стационарно, то получим уравнение

Точно таким же образом мы можем вывести из уравнения (6.5.21) уравнение

Из уравнения с дивергенцией (6.5.22) мы можем вывести с помощью такой же процедуры два уравнения

Уравнения (6.5.25)-(6.5.32) являются основными уравнениями для распространения корреляционных тензоров электромагнитного поля в свободном пространстве. Существует другая система аналогичных уравнений, которая использует операторы а не и которая может быть выведена точно таким же образом. Эти две системы уравнений не являются независимыми. Одна может быть выведена из другой с помощью соотношений (6.5.3).

Различные следствия этих уравнений и некоторые обобщения обсуждались в литературе. В частности, были выведены законы сохранения, включающие корреляции поля (Roman and Wolf, 1960b; Roman, 1961b), и уравнения были обобщены на случай, когда учитывалось влияние случайных зарядов и случайных токов (Roman, 1961а; Beran and Parrent, 1962). Были получены явные выражения для тензоров когерентности излучения абсолютно черного тела и были изучены некоторые из их следствий (Bourret, 1960) и (Mehta, Wolf 1964а, b).