10.6. Момент количества движения квантованного поля.

В классической электродинамике полный момент количества движения электромагнитного поля в вакууме относительно точки о определяется интегралом

Здесь полный импульс электромагнитного поля, который мы только что обсуждали. Из выражения (10.6.1) видно, что в общем случае зависит от Если поле квантовано, и представляют собой некоммутирующие операторы гильбертова пространства, то мы можем определить квантовый оператор момента количества движения аналогичным образом при условии, что мы, как и ранее, симметризируем операторы для того, чтобы оператор был эрмитовым. Следовательно, мы запишем

где оператор импульса, определяемый выражениями (10.5.2) и (10.5.6).

10.6.1. Момент количества движения как интеграл движения

Рассмотрим вопрос: является ли полный момент количества движения интегралом движения для квантованного поля? Поскольку мы уже показали, что является интегралом движения, то достаточно

доказать то же самое для Из определения и с помощью уравнений Максвелла (10.4.41) и (10.4.42) найдем

где вакуумная диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость, соответственно. Последняя строка следует из предыдущей на основании того, что, как будет показано в разд. 10.8, все операторы взятые в один и тот же момент времени, коммутируют. Это также верно и для Распишем тройные векторные произведения следующим образом:

Следовательно,

Такое же разложение может быть записано для члена, содержащего в выражении (10.6.3). Подставим полученные выражения в (10.6.3) и применим обобщенную теорему Гаусса, чтобы перейти от интегралов по объему к интегралам по поверхности нормировочного куба. Таким образом, мы получаем

Первый интеграл обращается в нуль, что становится очевидным, если, например, объединить вклады от элементов поверхности Ибо из периодических граничных условий следует, что и т.д., тогда как векторы равны по модулю и противоположны по направлению в точках и т.д. Таким образом, выражение (10.6.4) принимает вид

Произведения диадики, и данное слагаемое не равно нулю. Однако, интеграл берется по границе нормировочного объема, который, в конечном итоге, принимается сколь угодно большим.

В классической электродинамике такие поверхностные члены обычно отбрасываются, если мы имеем дело с пространственно ограниченными полями, на том основании, что поле на границе можно считать пренебрежимо малым. Но с этим аргументом нужно обходиться с большой осмотрительностью в случае, когда поля представлены операторами гильбертова пространства. Мы уже сталкивались с вкладом нулевых колебаний, который появляется в некоторых операторных произведениях и среднее значение которого не зависит от квантового состояния поля. Запишем выражение (10.6.5) через составляющие

подразумевая суммирование по повторяющимся индексам, где полностью антисимметричный единичный тензор Леви-Чивита, т.е. или —1, соответственно, если подстрочные индексы образуют четную или нечетную перестановку когда два индекса равны. Отсюда видно, что члены с также обращаются в нуль из соображений симметрии на границе нормировочного

объема. Если же в выражении (10.6.6), то тогда ненулевой вклад должны давать только члены с из-за наличия антисимметричного тензора

Рассмотрим подробнее операторное произведение вида Из разложения по модам (10.4.39) можно видеть, что оператор всегда можно представить в виде суммы двух взаимосопряженных операторов где содержит только операторы уничтожения, а только операторы рождения. Эти операторы рождения и уничтожения конфигурационного пространства рассматриваются подробнее в гл. 11 и 12. Произведение может быть записано в виде

Из четырех членов в правой части этого выражения, первые три имеют нормальный порядок, т.е. операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. Их средние значения, следовательно, равны нулю для любого состояния поля в котором фотоны расположены далеко от точки лежащей на границе нормировочного объема, т.е. Последний член в выражении (10.6.7) не является нормально упорядоченным. Однако, из разложений по модам можно показать, что и коммутируют при условии, что так что этот член можно записать в нормальном порядке Все сказанное применимо и к члену в выражении (10.6.6). Таким образом, мы показали, что обращается в нуль, за исключением нескольких нормально упорядоченных членов на границе нормировочного объема, матричные элементы которых между состояниями, соответствующими возбуждениям, локализованным внутри объема, равны нулю. При этих ограничениях полный момент количества движения можно считать интегралом движения (Lenstra and Mandel, 1982).