18.8.2. Линейный анализ устойчивости
Стационарные решения уравнений (18.8.6) можно получить, полагая временные производные равными нулю. В результате, находим следующие ненулевые решения
при условии, что 
Используя данные стационарные значения, удобно ввести нормированные переменные, как это сделали Рискен и Нуммедаль (Risken and Nummedal, 1968а)
В этих нормированных переменных уравнения движения принимают вид
Проверим является ли стационарное решение (18.8.10), определяющее неподвижную точку, устойчивым. Для этого рассмотрим уравнения движения в окрестности неподвижной точки, используя линейное приближение
Подставляя данные выражения в (18.8.12) и сохраняя только величины первого порядка малости по 
получаем систему дифференциальных уравнений
Эти уравнения можно решить, полагая, что
Нетривиальное решение получается, только если
Последнее условие дает кубическое уравнение относительно константы затухания 
Очевидно, что в случае устойчивой неподвижной точки действительные части всех трех корней 
должны быть положительными. Детальный анализ корней этого уравнения показывает, что нестабильность появляется при условии
и когда
Первое неравенство означает, что скорость затухания поля в резонаторе должна превышать атомные скорости затухания, т.е. необходим «плохой резонатор». Второе неравенство устанавливает нижнюю границу возбуждения или уровня накачки лазера. Согласно (18.8.6а) параметр 
представляет собой «скорость усиления» лазера, которая равна скорости затухания 
на пороге. Таким образом, отношение 
есть мера того, во сколько раз усиление превышает потери. Посмотрим, насколько велико оно должно быть, чтобы появилась нестабильность.
Правая часть неравенства (18.8.18), рассматриваемая как функция от 
имеет минимум при условии
т.е. когда
но всегда больше 9. Оно равно приблизительно 15, когда 
и равно приблизительно 21, когда 
В последнем случае согласно (18.8.19) минимум отношения усиления к потерям означает, что 
Следовательно, для появления нестабильности усиление лазера должно превышать потери, более чем на порядок. С точки зрения интенсивности на выходе, такой лазер оказывается существенно выше порога.
