2.4.2. Сингулярности спектральной плотности

Спектральная плотность может содержать сингулярности дельта-функции, если среднее не равно нулю или если содержит осциллирующие компоненты. Чтобы проиллюстрировать то, как

возникают сингулярности, начнем с рассмотрения стационарного эргодического случайного процесса с нулевым средним, который удовлетворяет условию эргодичности (2.2.14). Это условие гарантирует, что автокорреляционная функция для является абсолютно интегрируемой. Следовательно, существует ее фурье-образ который является непрерывной функцией от и. Последнее можно показать следующим образом. Из (2.4.15) имеем

и правая сторона стремится к нулю при для всех и. С другой стороны, если корреляции постепенно ослабевают, причем так медленно, чтобы не была абсолютно интегрируемой, то может содержать сингулярные дельта-функции. Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, мы рассмотрим стационарный случайный процесс который отличается от на постоянную величину, являющуюся, естественно, средним Тогда автокорреляционная функция для связана с соотношением

Из абсолютной интегрируемости следует, что также является абсолютно интегрируемой и что процесс является эргодическим. Кроме того, очевидно, что не является абсолютно интегрируемой. Если выполнить фурье-преобразование обеих частей выражения (2.4.20) и воспользоваться формулой (2.4.15), то получим для спектральной плотности случайного процесса выражение

где дельта-функция Дирака. В силу того, что процесс имеет ненулевое среднее, его спектральная плотность содержит сингулярную дельта-функцию на нулевой частоте.

В заключение предположим, что случайный процесс содержит также периодические вклады на разных частотах Тогда его автокорреляционная функция будет иметь общую форму

Спектральная плотность случайного процесса полученная при преобразовании Фурье выражения (2.4.22), определяется в виде

Видно, что она имеет дополнительные сингулярные дельта-функции на каждой частоте