19.3. Аналогия с фазовым переходом

Как и в предыдущей главе, удобно провести аналогию между поведением лазерного поля и некоторыми типами фазовых переходов (см., например, Graham, 1975; Haken, 1975, 1977, гл. 6 и 7). Для простоты начнем с детерминированных уравнений движения, а затем добавим члены, представляющие квантовый шум. В стационарном состоянии, когда производные по времени обращаются в нуль, из уравнений (19.1.16) при получаем, что

В общем случае решение этих двух связанных уравнений содержит три различных ветви, которые обозначим через (а), (б) и (в), и которые имеют следующий вид (Mandel, Roy and Singh, 1981)

при условии, что

где

есть среднее и разность двух параметров накачки. На рис. 19.9 показана интенсивность моды как функция параметра асимметрии при фиксированном а для нескольких значений константы связи Значение всегда равно нулю при больших отрицательных и всегда равно при больших положительных . Но эти две ветви решения связываются линией, наклон которой зависит от Наклон положителен при отрицателен при и бесконечен при Отрицательный наклон соответствует многозначному и, в общем, нестабильному решению, и система, описываемая графиком типа должна проявлять гистерезис со скачком от А к В, когда становится больше и со скачком от когда Да становится меньше — Таким образом, решение, задаваемое формулой (19.3.4), у которого интенсивности обеих мод не равны нулю, нестабильно, когда константа связи превышает 1. Следовательно, значение разделяет две области, отвечающие довольно разному поведению лазера. На рис. 19.10 показано решение связанных, зависящих от времени уравнений движения (без квантового шума), при Необходимо отметить, что в стационарном состоянии интенсивность той или иной моды, в зависимости от начальных условий, обращается в нуль.

Рис. 19.9. Зависимость интенсивности одной моды лазера от А а при различных значениях константы связи в стационарном состоянии согласно детерминированным уравнениям движения (Mandel, Roy and Singh, 1981)

Рис. 19.10. Кривые, иллюстрирующие решения детерминированных уравнений движения для двух интенсивностей лазерных мод (обозначенных здесь через при

19.3.1. Минимумы потенциалов

Эти выводы основаны на детерминированных уравнениях движения и должны быть пересмотрены в рамках статистического решения, задаваемого выражениями (19.2.7) или (19.2.8). Вследствие этого, найдем наиболее вероятные значения интенсивностей двух мод из условия минимума потенциала Мы опять сталкиваемся с различными ветвями решения, которые будем рассматривать по отдельности.

Из (19.2.7) следует, очевидно, что ниже порога, когда оба отрицательны, потенциал имеет наименьшее возможное значение, когда

что соответствует наиболее вероятному состоянию лазера. Эту фазу мы будем обозначать через

Из (19.2.7) следует, что потенциал наименьший, когда и оптимальное значение 12 определяется условием или — так что

Таким же образом устанавливаем, что наиболее вероятное состояние имеет вид

Область, где оба положительны, требует дальнейшей детализации.

Полагая и считая очень малым, легко доказать, что состояние

соответствует локальному минимуму. Это решение совпадает с решением (19.3.7), так что области объединяются в одну фазу, характеризуемую условиями которую будем обозначать через II.

Подобным же образом можно показать, что состояние

представляет локальный минимум. Следовательно, (в) и (д) можно также объединить в одну фазу, характеризуемую условиями которую будем обозначать через III.

Приравнивая обе частные производные к нулю, получаем формулы

Данная система уравнений имеет ненулевое решение, совпадающее с (19.3.4), а именно

Однако эти решения соответствуют локальному минимуму потенциала только если

т. е. если

При этом из выражений (19.3.11а), очевидно, следуют ограничения Обозначим эту фазу через IV. С другой стороны, когда не существует минимума потенциала, при котором обе не равны нулю, и фаза IV не существует. Можно показать, что в этом случае координаты, задаваемые выражением (19.3.11а), соответствуют седловой точке потенциала. Позже мы рассмотрим ситуацию более тщательно.