6.5.3. Волновые уравнения для распространения тензоров когерентности

Дифференциальные уравнения первого порядка, которые мы только что вывели, связывают четыре тензора когерентности второго порядка стационарного электромагнитного поля в свободном пространстве. Мы сейчас покажем, что эти уравнения означают, что каждый тензор удовлетворяет двум волновым уравнениям.

Применим оператор к уравнению (6.5.27). Тогда мы получим уравнение

Далее подставим в левую часть этого уравнения формулу (6.5.25) и найдем, что

Сейчас мы воспользуемся тождеством [Jeffreys, 1931, с. 15, уравнение (55)]

где символ Кроиекера. Тогда уравнение (6.5.34) сводится к

Теперь согласно уравнению (6.5.29) первое слагаемое слева исчезает. К тому же где оператор Лапласа, взятый по отношению к координатам первой точки Следовательно, если мы также заменим индекс на , уравнение (6.5.36) сводится к уравнению

показывающему, что в свободном пространстве электрический тензор когерентности удовлетворяет волновому уравнению.

Точно таким же образом можно показать, что другие тензоры когерентности также удовлетворяют этому уравнению, а именно

Далее, используя уравнения (6.5.3), можно сразу же найти из уравнений (6.5.37)-(6.5.40), что каждый из четырех тензоров когерентности удовлетворяют волновому уравнению, в котором оператор Лапласа действует на координаты второй точки (в этом случае мы обозначим оператор Лапласа как т.е. каждый тензор когерентности также удовлетворяет волновому уравнению вида

Завершим этот раздел, подчеркнув, что мы определили матрицы когерентности (тензоры когерентности) стационарных электромагнитных полей и вывели динамические уравнения, которым они подчиняются в свободном пространстве. Эти определения и уравнения определяют математический подход к единому рассмотрению многих проблем, касающихся пространственной когерентности, временной когерентности второго порядка и состояния поляризации поля.