5.7.3. Функция энергетической яркости от плоских вторичных квазиоднородных источников

Ранее мы упоминали, что радиометрия в значительной степени развивалась в связи с задачами о тепловых источниках, т.е. источниках типа черного тела или таких источниках, излучение от которых можно получить линейной фильтрацией излучения черного тела (см. разд. 13.2). Источники такого типа принадлежат обычно к классу квазиоднородных источников. Следовательно, представляет интерес рассмотреть формы выражений основных радиометрических величин для источников такого вида.

Для плоского, вторичного, квазиоднородного источника взаимная спектральная плотность имеет вид [см. (5.3.16)]

где спектральная плотность изменяется значительно медленней при изменении чем спектральная степень когерентности при изменении Более того, линейные размеры такого источника

велики по сравнению с его спектральной шириной когерентности распределения света на частоте в плоскости источника, т.е. по сравнению с эффективной шириной рис. 5.2).

Если подставить (5.7.61) в (5.7.46), то мы легко получим следующее выражение для одной из обобщенных функций энергетической яркости для квазиоднородного источника:

где

— двумерный пространственный фурье-образ

Мы видим, что функция энергетической яркости (5.7.62), имеющая факторизованный вид, является произведением функции от и функции от на каждой частоте. Безусловно, первый множитель является неотрицательным. Второй множитель также неотрицателен, так как он представляет собой фурье-образ коэффициента корреляции, который является неотрицательно определенным и, следовательно, согласно теореме Бошнера (разд. 1.4.2)

для всех двумерных векторов Поскольку в последний множитель в является также неотрицательным. Таким образом, уравнение (5.7.62) показывает, что функция энергетической яркости (5.7.46) для квазиоднородного источника должна быть неотрицательной:

Более того, поскольку спектральная плотность обращается в нуль во всех точках плоскости источника вне области занимаемой источником, то

Таким образом, мы видим, что энергетическая яркость (5.7.46) для квазиоднородного источника удовлетворяет постулатам (5.7.37а) и (5.7.376) традиционной радиометрии. Кроме того, если подставить (5.7.61) в два других определения функции яркости [см. (5.7.47) и (5.7.52)] и использовать тот факт, что изменяется при изменении значительно медленней, чем изменяется при изменении то с хорошей степенью точности мы найдем, что каждая их них равна выражению (5.7.62), так что

т.е. для квазиоднородного источника три определения функции яркости в сущности эквивалентны друг другу.

Рассмотрим энергетическую светимость. Если подставить (5.7.61) в формулу (5.7.60), мы сразу получим следующее выражение для энергетической светимости для квазиоднородного источника:

где

Формулы (5.7.68) и (5.7.69) показывают, что обобщенная энергетическая светимость [определенная с помощью выражения (5.7.46) для яркости] для квазиоднородного источника пропорциональна спектральной плотности при этом множитель пропорциональности зависит от спектральной степени когерентности распределения света в плоскости источника. По причинам, которые станут вскоре очевидными, множитель иногда называют коэффициентом отдачи источника. Его можно выразить

в несколько другом виде, из которого можно легко определить его основные свойства. Если подставить (5.7.62) в (5.7.55) и сравнить результирующее выражение с (5.7.68), то мы найдем

Так как согласно для всех значений своих аргументов, то из (5.7.70) мы видим, что

Если использовать этот результат для (5.7.68) и тот факт, что спектральная плотность и) является неотрицательной, то

Таким образом, обобщенная энергетическая светимость для квазиоднородного источника, связанная с обобщенной энергетической яркостью формулой (5.7.46), обязательно должна быть неотрицательной. [Ввиду уравнения (5.7.67) то же самое утверждение остается справедливым, если вместо выражения (5.7.46) использовать для энергетической яркости альтернативные выражения — либо (5.7.47), либо (5.7.52)]. Более того, поскольку спектральная плотность равна нулю, когда точка расположена вне площади источника из (5.7.68) следует, что

Из (5.7.69) можно также получить верхний предел для Для этого мы выполним обратное преобразование Фурье выражения (5.7.63), положим и используем тот факт, что Тогда мы находим, что

Если мы положим и используем неравенство (5.7.64), то

Поскольку из уравнений (5.7.75) и (5.7.70) следует, что

Из неравенства (5.7.76) и выражения (5.7.68) мы видим, что энергетическая светимость квазиоднородного источника в любой его точке меньше или равна спектральной плотности в этой точке.

Рис. 5.26. Коэффициент отдачи для плоского, вторичного, гауссовского, коррелированного квазиоднородного источника, как функция его нормированной эффективной ширины корреляции (Wolf and Carter, 1978а)

На рис. 5.26 показано поведение коэффициента отдачи для вторичного, плоского, гауссовского, коррелированного квазиоднородного источника как функции его эффективной спектральной ширины когерентности Мы видим, что увеличивается монотонно при изменении от нулевого значения для полностью некогерентного источника к единице для локально когерентного источника Было показано, что для ламбертовского квазиоднородного источника величина равна 1978а).

Интенсивность излучения создаваемую квазиоднородным источником, можно получить при подстановке (5.7.62) в (5.7.40). Тогда мы сразу находим, что

где — фурье-образ распределения спектральной плотности в плоскости источника, полученный для пространственной частоты т.е.

Выражение (5.7.77) согласуется с формулой (5.3.21), которая была получена другим способом.

В заключение заметим, что скорость, с которой квазиоднородный источник излучает энергию на частоте согласно уравнениям (5.7.54), (5.7.68) и (5.7.78), равна

Из этой формулы и (5.7.78) мы видим, что для квазиоднородного источника пропорциональна полной спектральной плотности на частоте Согласно (5.7.69) коэффициент пропорциональности зависит только от спектральной степени когерентности источника и, следовательно, представляет собой меру «эффективности» излучения, с которой источники, имеющие одинаковую спектральную плотность, но различные спектральные степени когерентности, генерируют излучение. По этой причине называют коэффициентом эффективности.

В этом разделе мы продемонстрировали, что радиометрическая модель, применяемая к излучению от квазиоднородных источников, согласуется с физической оптикой, по крайней мере, что касается свойств основных радиометрических величин [см. (5.7.65), (5.7.66), (5.7.72) и (5.7.73)]. Это весьма удовлетворительное заключение, поскольку тепловые источники, для которых разрабатывалась традиционная радиометрия и к которым она, главным образом, применялась, обычно принадлежат к этому классу источников. Для других типов источников радиометрическая модель должна интерпретироваться с некоторым предостережением, потому что энергетическая яркость и энергетическая светимость могут не обладать всеми свойствами, которые обычно им приписываются. Тем не менее, понятия энергетической яркости и энергетической светимости можно всегда использовать при вычислении измеримых радиометрических величин, таких как поток излучения и интенсивность излучения.