Приложение 5.2 Теорема произведения для гауссовских функций
В этом приложении мы докажем следующую теорему, которая известна как теорема произведения для гауссовских функций:
Если 
представляет собой гауссовскую функцию
то произведение двух таких функций пропорционально другой гауссовской функции, равной
где
Чтобы доказать эту теорему, умножим две гауссовские функции и выразим их произведение в виде
Тогда
где
Выделяя в уравнении 
полный квадрат, находим
где
Используя уравнения 
нетрудно показать, что
Подставляя 
находим, с учетом определения 
что
что и требовалось доказать.
В последней части прил. А работы (Wolf, Foley and Gori, 1989) обсуждаются некоторые следствия из этой теоремы.
Задачи
(см. скан)
