2.4. Спектральные свойства стационарного случайного процесса

2.4.1. Спектральная плотность и теорема Винера — Хинчина

Одним из наиболее важных свойств стационарного случайного процесса является его спектр. Можно было бы ввести спектр эвристически следующим образом. Представим формально в виде интеграла Фурье:

и предположим, что интеграл существует и может быть обращен, т.е.

Далее можно было бы попытаться определить спектр случайного процесса как среднее значение величины т.е.

так что была бы мерой интенсивности флуктуаций, связанной с конкретной фурье-компонентой Однако простые соображения показывают, что определение (2.4.2) математически необоснованно. В самом деле, если стационарный случайный процесс, то он не стремится к нулю при потому

что лежащие в основе плотности вероятности флуктуации инвариантны относительно переноса начала отсчета [см. (2.2.1)]. Таким образом, в статистическом смысле не может вести себя произвольно для больших значений в отличие от других значений Следовательно, не является ни квадратично интегрируемой, ни абсолютно интегрируемой, и поэтому, в рамках теории обычных фукнций, интеграл Фурье (2.4.1а) не существует.

Только что отмеченная трудность была преодолена Винером (Wiener, 1930) в классической работе, которая была положена в основу нового направления в математике — обобщенного гармонического анализа. Винер рассмотрел широкий класс функций [измеримых в смысле Лебега — см. (Titchmarsh, 1939, гл. 10; Kestelman, 1960, гл. 3)], для которых интеграл

существует. Очевидно, такие функции не обязательно стремятся к нулю при Винер показал, что величина

которую он назвал спектром для также существует. По причинам, которые скоро станут ясными, имеет смысл рассматривать а как интегральный спектр. Если а является дифференцируемой функцией от со и порядок дифференцирования и интегрирования можно менять, то

Функция может быть отождествлена со спектром или, что более точно, со спектральной плотностью, также называемой спектром мощности, от Несмотря на то, что на первый взгляд уравнение (2.4.5) не имеет сходства с формулой (2.4.2), на основе которой было введено эвристически понятие спектра, мы скоро увидим, что отождествление интеграла в правой части (2.4.5) со спектральной плотностью случайного процесса вполне уместно. Анализ Винера применим, вообще говоря, к одиночной функции а не к ансамблю функций, и в своем анализе он не использовал статистических понятий. Однако, когда имеют дело со стационарным и эргодическим ансамблем случайных функций, можно заменить автокорреляционную функцию, определенную как среднее по времени (2.4.3), на автокорреляционную функцию

определенную как среднее по ансамблю, так как эти средние равны. Спустя четыре года после выхода в свет классической работы Винера, Хинчин (Khintchine, 1934) показал с помощью теоремы Бошнера (разд. 1.4.2), что функция которая является автокорреляционной фукнцией непрерывного случайного процесса, должна быть выражена в форме интеграла Фурье — Стилтьесса (Yaglom, 1962, гл. 2, разд. 9)

где а действительная, неубывающая, ограниченная функция. При том, что подход Хинчина в целом отличался от подхода Винера, при отождествлении усредненной по времени функции Винера с автокорреляционнной функцией эргодического процесса можно отождествить интегральный спектр Винера с функцией распределения в представлении Хинчина (2.4.7).

Стоит отметить, что и Винер и Хинчин использовали понятие интегрального спектра, а не спектральной плотности, вероятно потому, что спектральная плотность может стать сингулярной, хотя и не более сингулярной, чем дельта-функция Дирака. Далее в этой книге мы без колебаний используем дельта-функцию Дирака и, следовательно, будем работать со спектральной плотностью. Ее применение можно

строго обосновать в рамках теории распределений или теории обобщенных функций (Bremerman, 1965; Nussenzveig, 1972, прил. A; Lones, 1982, и ссылки в этих источниках). В действительности, когда имеют дело со статистически стационарным источником и стационарным полем, а не со стационарной случайной функцией, как было показано Вольфом (Wolf, 1981, 1982), в общем случае можно избежать использования сингулярных и обобщенных функций. Мы обсудим эту тему в разд. 4.7.

Теперь посмотрим, почему интеграл в уравнении (2.4.5) можно отождествить со спектральной плотностью. Для этого снова используем соотношения фурье-преобразования (2.4.1а) и (2.4.16), рассматривая их как символические формулы, которым, как только что было отмечено, в рамках обычной теории функций можно дать точный математичсекий смысл.

Для каждой реализации стационарного случайного процесса, преобразование (2.4.16) будет приводить к реализации следовательно, также представляет собой случайный процесс, в котором параметром является частота, а не время. Рассмотрим математическое ожидание, или среднее по ансамблю произведения Из уравнения (2.4.16) имеем, если поменять местами операции усреднения и интегрирования,

Поскольку предполагается, что процесс является стационарным, то

где автокорреляционная функция для Подставляя (2.4.9) в интеграл (2.4.8) и полагая находим

откуда следует, что

где

Формулы (2.4.10) и (2.4.11) представляют собой два очень важных соотношения. Первое соотношение показывает, что (обобщенные) фурье-компоненты стационарного случайного процесса, принадлежащие разным частотам, являются некоррелированными и что является мерой корреляции флуктуаций фурье-компоненты на частоте т.е. можно рассматривать как спектральную плотность для

Сингулярность при в уравнении (2.4.10) можно удалить, если проинтегрировать обе части по в окрестности Далее, если использовать уравнение (2.4.12), то получим следующее выражение для спектральной плотности

Следует отметить сходство между этим выражением для спектральной плотности и определением (2.4.2). Для того, чтобы понять смысл формул (2.4.10) и (2.4.11), мы заново запишем их через а не используя (2.4.12):

Можно рассматривать формулу (2.4.15) как определение спектральной плотности или спектра мощности стационарного случайного процесса Видно, что выражение (2.4.15) для спектральной плотности находится в соответствии с (не строго интерпретируемой) формулой (2.4.5), основанной на теории Винера, при условии, что функция в определении Винера (2.4.3) для рассматривается как реализация стационарного эргодического случайного процесса.

Рис. 2.6. Спектральная плотность лоренцевской формы (2.4.17)

Формула (2.4.15) вместе с обратным для нее преобразованием

в общем случае известна как теорема Винера — Хинчина. Теорема утверждает, что автокорреляционная функция стационарного случайного процесса и спектральная плотность (или спектр мощности) процесса связаны прямым и обратным преобразованием Фурье.

В качестве примера мы заметим, что для случайного телеграфного сигнала (см. разд. 2.2) с автокорреляционной функцией есть спектральная плотность типа Лоренца

Эта функция (рис. 2.6) центрирована на нулевой частоте и имеет ширину на полувысоте

которая, как видно, приблизительно равна величине, обратной полуширине функции

Когда случайный процесс описывает оптическое поле, функция имеет в общем случае выраженный максимум на оптических частотах порядка и исчезающе мала вне области оптических частот.