18.4.2. Статистика фотонов

Операторное уравнение движения (18.4.20) позволяет вывести уравнения для средних значений или распределений вероятностей различных динамических переменных поля. В качестве иллюстрации, получим уравнение движения для вероятности того, что в момент времени в резонаторе имеется фотонов. Эта вероятность задается средним значением оператора в фоковском состоянии

Умножим каждое слагаемое в (18.4.20) на справа и на слева и воспользуемся соотношениями (10.4.5) и (10.4.8). В результате получим

Если рассматривать только такие числа фотонов для которых члены оказываются намного меньше единицы, то можно переписать последнее уравнение в виде

Данная формула имеет точно такой же вид, как и формула, получаемая методом Вайскопфа — Вигнера (Haken, 1964,1970; Scully and Lamb, 1967,1969), в котором отсутствует ограничение на величину напряженности поля. Отметим, что уравнение движения (18.4.24), выведенное методом теории возмущений, следует из более общего уравнения (18.4.25) при разложении двух знаменателей и сохранении только двух первых членов в разложении. Это иллюстрирует связь между двумя методами и подчеркивает тот факт, что лазер не должен работать при сильном превышении порога. Таким образом, если мы хотим, чтобы (18.4.24) имело силу, необходимо, чтобы Коэффициенты получаемые методом Вайскопфа-Вигнера, также немного отличаются и принимают вид (Scully and Lamb, 1967, 1969)

где скорость распада верхнего состояния скорость распада нижнего состояния и — среднее значение

Рис. 18.17. Поток вероятности между соседними состояниями лазерного поля (Scully and Lamb, 1967)

Основное кинетическое уравнение (18.4.25) имеет характер скоростного уравнения, в котором изменение населенности фотонами состояния приписывается переходам из и на соседние состояния Это проиллюстрировано на рис. 18.17. Первый член справа в уравнении (18.4.25) описывает, очевидно, уменьшение вероятности которое обусловлено вынужденным излучением атома с переходом поля из состояния в состояние а второй член описывает увеличение вероятности которое обусловлено вынужденным излучением с переходом поля из состояния в состояние Аналогично, третий и четвертый члены описывают увеличение и уменьшение связанное с поглощением лазерного излучения.