5.6.1. Монохроматические лучи

Рассмотрим поле монохроматической волны с частотой

распространяющееся в полуплоскости которая по предположению представляет собой свободное пространство. Как мы узнали в разд. 3.2.2, при обычных условиях, пространственную часть можно выразить во всей полуплоскости в виде суперпозиции плоских волн с одинаковыми волновыми числами

а именно, в котором вместо ко мы пишем теперь к]

где

Как мы уже отмечали в разд. 3.2.2, плоские волны, для которых являются обычными однородными волнами, которые распространяются в направлениях, задаваемых единичным вектором Плоские волны, для которых представляют собой затухающие плоские волны, амплитуда которых экспоненциально убывает при увеличении z.

Нам будут нужны два следующих результата, полученные в разд. 3.2.2:

(а) Функция спектральной амплитуды выражается через граничные значения поля на плоскости в виде [см. (3.2.27)]

где

— двумерный пространственный фурье-образ .

(б) Пусть

будет расстоянием от начала координат до точки поля Тогда, поскольку удаляется от начала координат в любом фиксированном направлении, которое задано единичным вектором то в асимптотическом пределе при имеем [см. (3.2.22)]

Здесь — угол, который единичный вектор составляет с положительным направлением оси z (см. рис. 5.18).

Рис. 5.18. Иллюстрация обозначений в формуле единичный вектор в направлении

Предыдущие соотношения справедливы в общем случае. Теперь мы видоизменим их таким образом, чтобы они были применимы к случаю, когда поле является лучеобразным. Ясно, что в этом случае амплитуды дальнего поля не будут учитываться, за исключением -направлений, которые близки к оси луча. Если выбрать ось луча в направлении оси z, то этот результат означает, согласно (5.6.8), что абсолютные значения для спектральных амплитуд будут пренебрежимо малыми, за исключением случая, когда Этот результат, с физической точки зрения, означает, что для луча, распространяющегося в окрестности положительного направления оси z, только те плоские волны будут иметь ненулевые амплитуды в представлении углового спектра (5.6.3), направления которых попадают в узкий телесный угол в окрестности оси z, что можно было интуитивно предположить. Из этого результата и из соотношения (5.6.5) мы сразу получим условие для распределения поля и(х,у,0;1у)е~27гги1 на плоскости необходимое и достаточное для создания в полупространстве луча, распространяющегося вблизи положительного направления оси должна, главным образом, содержать лишь низкие пространственно-частотные компоненты, т.е. модуль двумерного пространственного фурье-образа должен быть пренебрежимо малым, кроме случая, когда

Поскольку, как мы только что видели, для луча, который распространяется в направлении, близком к оси z, имеем

то используется только первое из двух выражений (5.6.4) для и это выражение можно аппроксимировать двумя первыми членами биномиального разложения, т.е.

Если подставить (5.6.10) в (5.6.3), то мы получим следующее представление для монохроматического луча (мы опускаем периодический временной множитель который распространяется вдоль оси z в полуплоскости

где подразумевается, что функция амплитуды (в общем случае, комплексная) удовлетворяет ограничению (5.6.9).

Если в выражении (5.6.11) использовать простое соотношение (5.6.5) между и изменить переменные интегрирования на то мы сразу получим следующее представление луча через фурье-образ его граничных значений на плоскости

где предполагается, что

Можно также представить луч во всем полупространстве непосредственно через граничные значения поля в плоскости Для этой цели мы подставим уравнение (5.6.6) для и) в (5.6.12) и изменим порядок интегрирования. Тогда мы получим следующую формулу для луча [вместо мы пишем теперь

где

Двойной интеграл в правой части есть произведение двух простых интегралов, каждый из которых представляет собой одномерное преобразование Фурье гауссовского распределения с мнимой дисперсией. Его значение, а также значения некоторых других интегралов, с которыми мы столкнемся чуть позже, можно легко получить из формулы [Gradshteyn and Ryzhik, 1980, с. 307, выражение (2) разд. 3.323 вместе с формулами

Тогда легко находим, что

Вместо того, чтобы использовать угловой спектр для представления луча, часто применяют альтернативный подход, который мы вкратце обсудим. Положим

Для строго однонаправленного луча (т.е. для однородной плоской волны), распространяющегося в положительном направлении оси будет константой. Для любого физически реализуемого луча, который распространяется вдоль оси z, будет, конечно, меняться при изменении но если угловое расхождение луча достаточно мало, то можно ожидать, что она будет изменяться очень медленно при изменении z. Предположим, что это изменение происходит столь медленно, что другими словами, что изменение на интервале порядка длины волны вдоль оси z является пренебрежимо малым по сравнению с его значением Подставляя (5.6.18) в уравнение Гельмгольца для [см. (4.7.39)] и пренебрегая членом мы находим, что с хорошей степенью точности удовлетворяет так называемому параксиальному уравнению

Применяя к параксиальному уравнению (5.6.19) ту же самую процедуру, которую мы применяли к уравнению Гельмгольца в разд. 3.2, нетрудно показать, что наиболее общее решение уравнения (5.6.19), распространяющееся в полуплоскости можно выразить в виде

где произвольная функция параметров и это решение уравнения (5.6.19), принимающее заданные граничные значения ф(х,у, 0) на плоскости равно

где функция Грина (5.6.17). Чтобы вывести эту формулу, нужно лишь в уравнении (5.6.20) положить выразить через и подставить в (5.6.20) это выражение для

Из соотношения (5.6.18) между видно, что формулы (5.6.20) и (5.6.21) соответствуют формулам (5.6.11) и (5.6.14). Однако, следует отметить, что решение (5.6.20) параксиального уравнения (5.6.19) не будет соответствовать лучу, пока функция не будет удовлетворять требованию (5.6.9). Решение (5.6.21) также не будет представлять луч, пока не будет эффективно ограничена в окружности на пространственно-частотной плоскости, радиус которой много меньше волнового числа к, т.е. пока модуль фурье-образа для ф(х, у, 0) не будет пренебрежимо малым, за исключением случая, когда Эти результаты означают, что в то время как регулярное решение параксиального уравнения можно выразить в виде (5.6.20) и (5.6.21), не все решения этого уравнения описывают лучи. Это происходит по той причине, что в нашем представлении лучей мы взяли за основу понятие углового спектра плоских волн, а не параксиальное уравнение. Такой подход дает ясное понимание многих физически важных особенностей волновых полей, независимо от того, имеют ли они структуру луча.