Главная > Оптическая когерентность и квантовая оптика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

14.8.2. Примеры вероятности детектирования

(а) Квазимонохроматическое когерентное состояние

В том случае, когда весовой функционал является произведением дельта-функций вида

мы сразу получаем при подстановке этого выражения в (14.8.8а), что

где правое собственное значение оператора принадлежащего когерентному состоянию Таким образом, фотоэлектрические импульсы, подобно фотонам электромагнитного поля, подчиняются статистике Пуассона.

(б) Одномодовый лазер со случайной фазой

Если единственной возбужденной модой является -мода, а абсолютное значение ее амплитуды есть то функционал для такой довольно идеализированной модели лазера задается выражением (11.11.18). Подставляя его под знак интеграла в (14.8.8а), вновь находим, что

где Распределение вновь является пуассоновским, потому что интенсивность света имеет вполне определенное значение.

(в) Одномодовое фоковское состояние

В этом случае все моды являются незаполненными, за исключением к-моды, которая содержит фотонов. Мы можем исходить либо непосредственно из (14.8.7) и выразить нормально упорядоченный оператор через операторы числа фотонов, либо воспользоваться найденным ранее выражением (11.8.20) для весовой функции заполненной моды. Так как все другие моды незаполнены, имеем

Хотя данный весовой функционал является сильно сингулярным, легко использовать его в (14.8.8а), поскольку «пробная функция» под знаком интеграла является бесконечно дифференцируемой. Поскольку заполнена только одна мода, можно свести к таким образом,

где последняя строка получается из предыдущей интегрированием по частям. Для того, чтобы объем пространства, охватываемый детектором, всегда лежал внутри объема квантования, необходимо наложить условие Подынтегральное выражение можно разложить с помощью правила Лейбница. Тогда находим, что интеграл имеет значение

таким образом, окончательно, имеем

Это распределение Бернулли или биноминальное распределение по и его вид имеет естественную интерпретацию. Поскольку по объему квантования фотоны распределены равномерно, то вероятность того, что любой один фотон содержится в цилиндре с площадью основания и высотой который является объемом пространства, фактически детектируемый детектором за время равна следовательно, вероятность того, что фотон детектирован, есть Это так называемый параметр «успех» данного распределения, а вероятность зарегистрировать «успехов», когда имеется фотонов, просто имеет вид (14.8.16). Если бы мы исходили из фоковского состояния с многомодовым заполнением, то мы бы получили гораздо более сложный параметр успеха.

(г) Поляризованный луч света от теплового источника и короткое время счета Т

В разд. 13.2 было показано, что для стационарного поля такого общего вида весовой функционал всегда можно свести к виду

в котором представляют собой произвольные числа заполнения различных мод. Для любой моды, у которой равно нулю, соответствующий множитель в произведении необходимо рассматривать как -функцию. Следовательно, весовая функция каждой моды является независимым гауссовским распределением, и суммарная комплексная амплитуда поля в каждой пространственно-временной точке также имеет вид распределения Гаусса. Для поляризованного поля, которое является взаимно спектрально чистым (разд. 4.6) по отношению к поляризации, можно записать где есть единичный вектор поляризации, а мгновенная интенсивность в таком случае подчиняется вероятностному распределению [ср. (13.3.7)]

Рис. 14.12. Результаты кратковременных измерений фотоэлектрического счета для лазерного луча и для поляризованного луча от теплового источника с гауссовской статистикой (Приводится из работы Arecchi, 1965)

Несмотря на простоту весового функционала (14.8.17), нельзя, как правило, найти точную конечную форму выражения для или для Однако в тех случаях, когда интервал измерения является достаточно коротким, по сравнению с временем когерентности или обратной шириной полосы частот так что (14.8.12) применимо, можно воспользоваться (14.8.18) для и получить следующий результат

Это распределение Бозе — Эйнштейна по с параметром Оно имеет ту же структуру, что и распределение чисел заполнения фотонов для одной моды поля теплового источника [см. (13.2.4)]. Хотя значение и следовало ожидать, причина того, что распределение имеет одномодовый вид распределения Бозе — Эйнштейна менее очевидна, поскольку здесь мы рассматриваем многомодовое поле.

Чтобы понять это, сначала вспомним, что цилиндрический объем пространства фактически регистрируемый детектором за время меньше объема когерентности, так как меньше, чем площадь когерентности, а меньше, чем длина когерентности поля. Но объем когерентности является также проекцией на трехмерное пространство единичной ячейки фазового пространства и может быть использован для определения «моды» поля. Детектируемый объем, следовательно, лежит внутри соответствующей ячейки фазового пространства. Именно в этом смысле измерение ограничено детектированием одной моды поля. Можно сказать еще и так: фотон с частотным разбросом имеет фундаментальную временную неопределенность и интервал измерения целиком лежит в пределах фундаментальной временной неопределенности. Подобные замечания также можно сделать относительно неопределенности положения в пространстве. На рис. 14.12 показаны результаты измерений за короткий временной промежуток времени, которые согласуются с предсказаниями по формулам (14.8.5) и (14.8.19) для света от теплового источника и для света одномодового лазера.

(д) Частично поляризованный пучок света от теплового источника

Если по отношению к поляризации свет является взаимно спектрально чистым (ср. разд. 4.5 и 13.3), то мы всегда можем представить суммарное поле в виде суммы двух ортогональных, полностью поляризованных составляющих, которые обе являются гауссовскими с интенсивностями света Если выбрать поляризационный базис таким, что матрица поляризации является диагональной (ср. разд. 6.2), то две составляющие поля не коррелируют и, так как они являются гауссовскими, они также и статистически независимы. Таким образом, обе интенсивности двух поляризованных составляющих подчиняются распределениям вероятности типа (14.8.18), в которых соответствующие средние интенсивности света , (12) связаны формулой (13.3.12) с общей средней интенсивностью света и степенью поляризации Было показано, что при таких условиях плотность вероятности общей интенсивности света задается формулой [см. (13.3.13)]

Подстановка этого результата в (14.8.12) приводит к следующей вероятности счета (Mandel, 1963а)

где при условии, что достаточно короткое.

(е) Поляризованный свет теплового источника и произвольное время счета

Воспользуемся определением длины когерентности как длины единичной ячейки фазового пространства, чтобы получить приближенное выражение для вероятности детектирования где не обязательно является коротким. Пусть является временем когерентности светового пучка (которое точно определяется ниже), и предположим, что для длительных имеем

так что интервал времени измерения содержит времен когерентности. Тогда можно ожидать, что величина которая необязательно является целым числом, играет роль числа одинаково заполненных ячеек фазового пространства по отношению к измерению. Поскольку для очень короткого интервала времени измерения имеет вид одномодового распределения Бозе — Эйнштейна, можно ожидать, что для длительных времен она имеет вид многомодового распределения Бозе — Эйнштейна, соответствующего фотонам, распределенным по одинаково заполненным модам. Вид такого распределения вероятности был выведен в разд. 13.3 и он определяется выражением (13.3.29). Поэтому теперь воспользуемся

подходом, справедливым для произвольного интервала времени при котором вероятность достаточно хорошо аппроксимируется формулой

где предполагается, что среднее является точным, а точное значение надлежит определить. Тогда отсюда следует, что дисперсия величины равна

которая, как уже было показано сводится к

Но, как будет ниже показано, дисперсию величины можно найти в достаточно общем виде из (14.8.7) или (14.8.8) и она может быть выражена в виде [см. (14.9.11)]

где временной интервал, зависящий от и задаваемый выражением

Для поляризованного света теплового источника можно отождествить нормированную корреляционную функцию интенсивности квадратом нормированной корреляционной функцией второго порядка амплитуды поля и записать

Если мы сравним выражение (14.8.24), полученное из предположения (14.8.23), с точным выражением (14.8.25), полученным непосредственно из формулы (14.8.7), то заметим, что эти уравнения можно привести к тождественному виду, полагая число равным

При таком отождествлении формула (14.8.23) автоматически дает точные значения двух первых моментов величины в любом случае. Более того, при достаточно коротких временах величину под знаком интеграла в (14.8.27) можно заменить единицей, так что а выражение (14.8.23) является верным. Кроме того, можно ожидать, что оно выполняется и для очень больших времен потому что в таком случае становится большим числом и может быть хорошо аппроксимировано целым числом. Из этого следует, что (14.8.23) при определяемом выражением (14.8.28), должно приводить к хорошему приближению для точной вероятности в случае поляризованного света от теплового источника в самых разнообразных условиях. Эта формула впервые была предложена на основании эвристических рассуждений (Mandel, 1959, 1963а), и ее точность была подтверждена для нескольких спектральных распределений (Bedard, Chang and Mandel, 1967).

Формула типа (14.8.23) также должна с хорошей степенью точности выполняться и для вероятности фотоэлектрического счета, когда свет, падающий на фотодетектор, не является пространственно когерентным. Число областей когерентности находящихся в области фотокатода 5, играет роль, схожую с ролью числа времен когерентности приходящихся на интервал счета В тех случаях, когда фактическое число одинаково заполненных ячеек фазового пространства в (14.8.23) приблизительно равно (Bures, Delisle and Zardecki, 1971, 1972; Zardecki and Delisle, 1973).

1
Оглавление
email@scask.ru