2.8.3. Порядок дифференциального уравнения Крамерса — Мояля

Несмотря на то, что дифференциальное уравнение Крамерса — Мояля (2.8.5) формально представляет собой уравнение бесконечного порядка, порядок все же оказывается конечным, если все моменты перехода стремятся к нулю для превышающих некоторое число Воспользуемся доказательством Лакса (Lax, 1966), чтобы показать, что существуют жесткие ограничения на порядок Из неравенства Шварца для любых целых имеем

что с помощью определения (2.8.4) момента перехода приводит к неравенству

Поскольку это соотношение имеет место для любых целых значений можно, в частности, положить Тогда

Теперь предположим, что все моменты перехода выше некоторого значения стремятся к нулю. Тогда уравнение Крамерса — Мояля становится дифференциальным уравнением в частных производных порядка. Если то так что и Но из уравнения (2.8.13) видно, что если то Следовательно, если моменты перехода стремятся к нулю выше порядка то они также стремятся к нулю выше порядка

Этот вывод можно повторить рекурсивно, чтобы показать, что все моменты перехода выше и т.д. также стремятся к нулю, поскольку порядок больше двух. Когда или этот вывод становится неверным, потому что тогда больше не выполняется неравенство Следовательно, если дифференциальное уравнение Крамерса — Мояля имеет конечный порядок, то оно должно быть уравнением первого или второго порядка. В этом случае уравнение известно как уравнение Фоккера — Планка. Похожий результат, известный как теорема Марцинкевича (см., например, Lukacs, 1970, с. 213), с которым мы сталкивались в разд. 1.4.3, имеет место в теории характеристических функций.