12.5. Корреляционные функции и взаимные спектральные плотности произвольного порядка

Теперь объединим результаты предыдущего параграфа с выводами, полученными в разд. 12.2 относительно многократных фотоэлектрических детектирований. Несложно видеть, что описание фотоэлектрического корреляционного эксперимента, включающего два фотодетектора, когда поле на каждом детекторе является суперпозицией двух или более световых лучей, будет приводить к членам вида

Это нормально упорядоченная корреляционная функция четвертого порядка, в которой все аргументы различны. Аналогично, корреляционные эксперименты, основанные на использовании фотодетекторов, будут включать нормально упорядоченную корреляционную функцию порядка с (возможно) различными аргументами. Таким образом, при общем рассмотрении корреляционных функций мы должны полагать аргументы произвольными.

Уместно еще одно обобщение. Все нормально упорядоченные корреляционные функции, с которыми мы сталкивались до настоящего времени, имели четный порядок, т.е. число операторов рождения в выражении равнялось числу операторов уничтожения. Это ограничение также должно быть снято, если мы рассматриваем нелинейные диэлектрические среды, в которых создаются оптические гармоники.

Обычный нелинейный диэлектрик характеризуется набором тензоров восприимчивости таких, что индуцированная поляризация связана с падающим электрическим полем уравнением

в котором члены далее первого, представляют собой отклонения от линейности. В результате поле, прошедшее через диэлектрик, связано с падающим полем тензорным соотношением. Если мы, как и прежде, разделим реальное поле на положительно-частотную и отрицательно-частотную составляющие, то выражение для величины квантового ожидания интенсивности будет включать, помимо других вкладов, вклады от членов вида

Это корреляционные функции нечетного порядка, в которых число операторов рождения не совпадает с числом операторов уничтожения, и в которых все декартовы индексы могут быть различными.

Теперь понятно, что самым общим типом корреляционной функции, которая может встретиться при измерении с помощью фотодетекторов в ситуации, когда присутствуют и интерференционные эффекты и тензорные нелинейности, является нормально упорядоченная корреляционная функция порядка

Это функция пространственно-временных точек и индексов.

Иногда удобно сокращать обозначения, определяя, например, одним коллективным символом пространственную координату время и декартову компоненту Тогда (12.5.2) может быть записано в более компактной форме