Глава 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

3.1. Комплексный аналитический сигнал

В оптике основные переменные, такие, так плотности тока и заряда, или электрические и магнитные поля, являются функциями положения и времени. Тем не менее, при изучении корреляционных свойств целесообразно представлять эти величины в виде комплексных функций. Это представление является естественным обобщением того, которое часто используется при рассмотрении действительных монохроматических сигналов и, как мы увидим позже (см. разд. 11.12), с аналогичными понятиями сталкиваются при описании электромагнитного поля в рамках квантовой теории поля.

В этом разделе мы обсудим комплексное представление для детерминированных функций и рассмотрим некоторые его основные свойства. В последних главах мы используем это представление при рассмотрении случайных функций.

3.1.1. Определение и основные свойства аналитических сигналов

Пусть будет действительной функцией действительного переменного определенной на интервале — и предположим, что она квадратично интегрируема, т.е.

Можно представить в виде интеграла Фурье

где

Поскольку функция действительная, спектральные амплитуды (в общем случае, комплексные) удовлетворяют соотношению

Из соотношения (3.1.3) видно, что компоненты с отрицательными частотами не несут никакой информации, которая уже содержится в компонентах с положительными частотами следовательно, без потери общности, мы будем рассматривать вместо функцию которая получена на основе интеграла Фурье (3.1.2а) без учета отрицательных частотных компонент, а именно:

где

Функция определяемая уравнением (3.1.4а), представляет собой комплексную функцию действительного переменного По причинам, которые вскоре станут очевидными, эту функцию называют комплексным аналитическим сигналом действительной переменной

Поскольку мы предположили, что квадратично-интегрируемая функция, ее фурье-образ согласно теореме Планшереля, также является квадратично-интегрируемой функцией. Тогда из (3.1.4) следует, что тоже самое справедливо и для т.е.

При помощи уравнения можно представить в другом виде

где

и аналитический сигнал можно выразить в виде

Переход от выражения (3.1.6) к (3.1.7) показывает, что комплексный аналитический сигнал представляет собой естественное обобщение комплексного представления, которое часто используется, когда имеют дело с действительными монохроматическими волнами. Из выражений (3.1.6) и (3.1.7) видно, что

т. е.

где означает действительную часть. Согласно (3.1.86) действительная часть комплексного аналитического сигнала составляет одну вторую действительного сигнала на основе которого был получен сигнал

Представление аналитического сигнала имеет много интересных свойств. Его наиболее важной особенностью является возможность распространить определение на комплексные аргументы. Введем комплексную переменную

и попытаемся аналитически продолжить из действительной оси на комплексную плоскость используя (3.1.4). Тогда по крайней мере формально, имеем

где

Мы видим, что для каждого значения подынтегральное выражение в формуле (3.1.10) представляет собой полностью аналитическую функцию от т.е. является аналитической и регулярной на всей комплексной -плоскости. В соответствии с хорошо известной математической теоремой, сумма (в соответствующем пределе — интеграл) таких функций представляет собой аналитическую и регулярную функцию при условии, что выполняются требования на непрерывность и сходимость. Из выражений (3.1.10) и (3.1.11) мы видим, что интеграл (3.1.10) будет сходится, если Этот эвристический аргумент предполагает, что если ведет себя достаточно хорошо, то есть аналитическая и регулярная функция от в нижней полуплоскости. Или, используя несколько другой подход, функция представляет собой граничное значение функции на действительной оси которая является аналитической и регулярной в нижней части комплексной -плоскости.

Можно показать, что только что полученный результат справедлив при более общих условиях по сравнению с нашим эвристическим подходом. Фактически требование квадратичной интегрируемости (3.1.5) является и необходимым, и достаточным условием для его справедливости.

Согласно соотношению (3.1.86) действительная часть равна Обозначим мнимую часть через т.е.

где также действительная функция. Можно показать, что свойство аналитичности которое мы только что обсудили, предполагает, что образуют пару относительно преобразований Гильберта (известную также как сопряженная пара), т.е.

где означает главное значение Коши, взятое при Для точного вывода этих соотношений следует обратиться к другому источнику (Tichmarsh, 1948, с. 128, теор. 95 и с. 25, теор. 93). Однако если предположить, что не только квадратично интегрируема, но и непрерывна на действительной временной оси то можно получить простой вывод этих соотношений, используя распространенную в теории аналитических функций интегральную формулу Коши. Эта теорема утверждает (Copson, 1935, с. 66 и с. 134), что если функция комплексной переменной действительные) является аналитической и регулярной в замкнутой области -плоскости и является непрерывной на границе С области то (Morse and Feshbach, 1953, с. 368)

где интегрирование выполняется вдоль кривой С, против часовой стрелки. В случае, когда лежит на границе кривой С, интеграл следует рассматривать в смысле главного значения Коши.

Рис. 3.1. Обозначения к формуле (3.1.15).

Применим эту теорему к аналитическому сигналу и возьмем в качестве контура интегрирования С кривую, состоящую из отрезка на действительной оси и

полукруга с радиусом в нижней полуплоскости, с центром в нулевой точке (см. рис. 3.1). Пусть будет точкой на сегменте действительной оси в интервале Тогда из формулы (3.1.146) следует, что в пределе при

Из формул (3.1.10) и (3.1.11) можно вывести, используя квадратичную интегрируемость что

и, следовательно, уравнение (3.1.15) означает, что

Подставляя (3.1.12) в эту формулу и приравнивая действительные и мнимые части, получаем соотношения преобразований Гильберта (3.1.13).

Соотношения вида (3.1.13), в которых вместо времени стоит частота, играют важную роль в физике и называются дисперсионными соотношениями. Эта терминология возникла в связи с тем, что эти соотношения впервые появляются в теории дисперсии света в материальных средах. Дисперсионные соотношения обычно появляются в физических теориях как следствие причинности (Nussenzveig, 1972, гл. 1). Если рассматривать линейную систему, отклик которой характеризуется функцией (например, диэлектрическая восприимчивость линейной среды на случайное электрическое поле), то причинность требует, чтобы при (отклик не возникает до того, как на вход поступил сигнал). Можно показать, что это условие накладывает определенные соотношения между действительными и мнимыми частями фурье-образа к функции среди которых простейшими являются преобразования Гильберта. В данной задаче появление соотношений такого вида не связано с причинностью, потому что они рассматриваются во временной области, а не в частотной. Таким образом, математическая природа этих соотношений одинакова в обоих случаях. Они возникают из того факта, что фурье-образ от и фурье-образ от [см. (3.1.4а)] стремятся тождественно к нулю для отрицательных значений их аргументов.

Иногда бывает полезным выразить переход от действительного сигнала к связанному с ним комплексному аналитическому сигналу на основе хорошо известных сингулярных функций теории поля, а именно, на основе так называемой неотрицательной частотной части дельта-функции Дирака, определяемой символически на основе выражения

где как и раньше, означает главное значение Коши. Из уравнений (3.1.18а) и (3.1.2) следует, что

Согласно (3.1.4), правая часть выражения (3.1.19) в точности представляет собой аналитический сигнал связанный с Таким образом,

Из этой формулы видно, что есть линейное преобразование от причем ядро преобразования представляет собой сингулярную функцию Если воспользоваться представлением (3.1.186) -функции, то выражение (3.1.20) означает, что

в соответствии с формулами (3.1.12) и (3.1.13).

Наконец, отметим следующие соотношения, которые могут быть легко получены с использованием формул (3.1.2а), (3.1.4), (3.1.12) и (3.1.13):