22.4.2. Статистика фотонов

Для того, чтобы вычислить средние значения величин, будем считать, что начальное состояние и сигнальной, и холостой мод является вакуумным состоянием Поскольку можно легко найти как моменты, так и производящую функцию моментов чисел фотонов Из (22.4.7) для момента при нормальном упорядочении, который является также факториальным моментом, получаем выражение

и тот же самый результат для следует из (22.4.8). При вычислении (22.4.9) мы использовали теорему антинормального упорядочения (12.10.23а)]

Эти моменты типичны для фотонов, подчиняющихся распределению вероятности Бозе — Эйнштейна, которое применимо к фотонам, испускаемым источником в тепловом равновесии. В частности, когда получаем

и, когда

поэтому

Из (22.4.10) видно, что среднее число вниз-конвертированных фотонов растет квадратично со временем за счет спонтанной эмиссии до тех пор, пока Но как только превышает единицу, вынужденная эмиссия доминирует и затем растет экспоненциально со временем. Однако следует отметить еще раз, что предположение о постоянстве амплитуды накачки не может быть оправданным, как только становится достаточно большим. На практике, время взаимодействия можно выбрать равным времени распространения через нелинейную среду, которое обычно очень короткое, так что в условиях стационарной накачки, как правило,

Для того, чтобы вычислить взаимную корреляцию воспользуемся формулами (22.4.7) и (22.4.8). Находим, что

Взаимная корреляция флуктуаций чисел фотонов, вследствие этого, задается соотношением

Из этого результата и выражения (22.4.12) мы получаем для нормированного коэффициента взаимной корреляции между числами сигнальных и холостых фотонов формулу

Следовательно, сигнальный и холостой фотоны являются полностью коррелированными, и при каждом увеличении числа сигнальных фотонов число холостых фотонов увеличивается на такую же величину. Другой подход к интерпретации того же самого результата возникает, если заметить из (22.4.13), что когда

При обе стороны этого выражения можно рассматривать как вероятности. Величина является мерой вероятности того, что сигнальный или холостой фотон детектируется идеальным детектором, а мерой совместной вероятности детектирования обоих фотонов (ср. разд. 12.2). Выражение (22.4.16) отражает, следовательно, тот факт, что два вниз-конвертированных фотона всегда создаются вместе, так как совместная двухфотонная вероятность равна однофотонной вероятности. Нет необходимости говорить, что эта интерпретация неправомерна, когда

Следует еще раз подчеркнуть, что на практике ситуация всегда сложнее, так как возбуждается более двух мод поля, и поэтому необходимо более общее многомодовое рассмотрение (Mollow, 1973; Hong and Mandel, 1985; Ou, Wang and Mandel, 1989). Далее можно также задаться вопросом об интервалах времени между сигнальными и холостыми фотонами. Такое рассмотрение будет проведено ниже в разд. 22.4.4.

Рис. 22.2. Результаты измерений, иллюстрирующие обратную зависимость между и средним значением интенсивности света в параметрической вниз-конверсии. Величина пропорциональна интенсивности света и ордината пропорциональна Непрерывная кривая является прямой линией, проходящей через начало координат. (Воспроизведено из Friberg, Hong and Mandel, 1985a)

Стоит отметить, что если ввести нормированную корреляционную функцию интенсивности, а именно,

то тогда, с учетом (22.4.14),

Таким образом, должна быть обратно пропорциональна интенсивности света, полученного в результате распада. Это заключение было подтверждено экспериментально. На рис. 22.2 показана линейная зависимость между полученная из эксперимента.