21.5.3. Фотонная статистика двухфотонного когерентного состояния

Хотя двухфотонное когерентное состояние имеет такое же разложение по состояниям как и когерентное состояние по фотонная статистика первого намного сложней, чем пуассоновская (Yuen, 1976; Yuen and Shapiro, 1980; Shapiro,Yuen and Machado Mato, 1979). В качестве первого шага, мы сейчас вычислим проекцию Оказывается, что удобней использовать представление по когерентным состояниям (21.5.21), записывая

или

Теперь введем производящую функцию для полиномов Эрмита [см., например, (Abramowitz and Stegun, 1965, разд. 22.9); (Rainville, 1960, гл. 11)]

и воспользуемся этим результатом, чтобы разложить в ряд левую часть (21.5.22). После подстановки

мы получаем формулу

Сравнение коэффициентов перед показывает, что

Квадрат модуля этой величины дает вероятность того, что в двухфотонном когерентном состоянии находится фотонов:

Очевидно, что распределение довольно сильно отличается от пуассоновского, а довольно сложная структура делает его трудным для использования в вычислениях.

Как и прежде, два первых момента числа фотонов получаются непосредственно из определений. Для среднего значения мы получаем соотношение

Далее с помощью коммутационных соотношений для а, а) находим

поэтому

Разность измеряющая отклонение от пуассоновской статистики, может быть положительной, отрицательной, или равной нулю, в зависимости от значений Она всегда равна нулю при когда мы вновь получаем когерентное состояние, но она может быть отрицательной для определенных комбинаций как было показано в разд. 21.4 для идеальных сжатых состояний.