12.7. Значение когерентности второго порядка

В этом разделе будут рассмотрены некоторые следствия условия для когерентности второго порядка

и будет показано, как это впервые было продемонстрировано работе (Titulaer, Glauber, 1965, 1966), что данное условие имеет определенные последствия для состояний электромагнитного поля и корреляционных функций высшего порядка. Мы покажем, что не только но и вообще все корреляционные функции могут быть представлены в виде произведения функций, связанных с каждой пространственно-временной составляющей Мы также обнаружим, что некоторые следствия полной когерентности сходны со следствиями, которые рассматривались в разд. 4.7 и 8.5.2 для классических полей.

12.7.1. Факторизация корреляционных функций

Мы начнем с общего операторного неравенства Шварца

которое выполняется для любых двух операторов имеющих различные ожидаемые значения. В частности,

для любого оператора В. Ожидаемые значения можно расписать явно через оператор плотности так что мы имеем

и поскольку В является полностью произвольным,

Примером оператора А, удовлетворяющего условию является

при условии, что и справедливо (12.7.1). При этом

что можно легко проверить. При данном выборе А соотношения (12.7.4) переходят в

Теперь применим эти выражения для расчета корреляционной функции Сперва предположим, что существует третий параметр z, для которого такой, что степень когерентности равна единице между любыми из двух параметров Тогда можно заменить или у на z в любом из вышеприведенных выражений. Из определения

и из (12.7.8), заменяя у на z, получаем

Если z фиксированная точка, то согласно полученному выражению корреляционная функция представляется в виде произведения функции только от х на функцию только от у. Конечно, если бы были фиксированными точками, то этот вывод не имел бы особого значения, но мы можем предположить, что существует, по крайней мере, окрестность точек х и у, для которых (12.7.9) выполняется. Определяя

мы можем переписать этот результат в компактной форме

точно так же, как для классических полей, обладающих когерентностью второго порядка (см. разд. 4.5). Однако следует подчеркнуть, что функции в общем случае не являются ожидаемыми значениями и как это было бы, если бы поле находилось в когерентном состоянии. Когерентное состояние является довольно частным примером поля, обладающего когерентностью второго порядка.

Функция представляется зависящей от выбора фиксированной точки z таким образом, что другая фиксированная точка z порождает новую функцию Но, поскольку мы должны иметь

для множества значений должны быть связаны между собой постоянным унимодулярным множителем, который не имеет особого значения.