2.1.2. Совместные вероятности и корреляции

Несмотря на то, что символизирует бесконечное семейство плотностей вероятности, она еще не описывает полностью случайный процесс. Например, она не содержит информации о возможных корреляциях между в два различных момента времени и Такую информацию дает совместная или двукратная плотность вероятности случайных переменных при выражаемая следующими равнозначными способами:

которая зависит от двух случайных переменных и двух параметров Плотность вероятности позволяет нам вычислить двукратные функции корреляции, такие, как:

Плотность вероятности содержит всю информацию, содержащуюся в которую можно записать в виде дополнительно к новой информации, поскольку из обычного свойства совместных вероятностей следует

Отметим, что для совместимости, т.е. внутренней согласованности теории, параметр должен исчезнуть в процессе интегрирования по всем

Величина известна как (двухвременная) автокорреляционная функция случайного процесса После среднего это следующая по значению величина при описании случайного процесса, поскольку она дает информацию о том, как далеко корреляции распространяются во

времени. Несмотря на то, что содержит больше информации, чем она еще не позволяет нам вычислять некоторые значения математического ожидания, например, трехвременную функцию корреляции для которой требуется трехкратная совместная плотность вероятности Очевидно, существует бесконечная иерархия плотностей вероятностей

каждая из которых содержит больше информации, чем предыдущие вероятности, и каждая из которых включает в себя всю информацию, содержавшуюся в предыдущих плотностях вероятности. Плотность вероятности является n-кратной совместной плотностью вероятности, с которой в момент времени случайная переменная имеет значения между а в момент времени она имеет значение между и т.д. Величина должна удовлетворять условию совместимости

для любого целого Таким образом, время связанное со случайной переменной исчезает при интегрировании по всем Аналогично, плотность также симметрична по случайным переменным, что подразумевает

где означает любую перестановку индексов от 1 до Если известна, она может быть использована для вычисления многовременнбй корреляции порядка [или порядка меньшего, чем с помощью соотношения (2.1.5)]:

В общем случае функции корреляции высшего порядка случайного процесса содержат значительно больше информации, так же, как содержит больше информации, чем Исключение возникает в случае гауссовского случайного процесса, для которого является многомерной гауссовской плотностью вероятности, определяемой уравнением (1.6.5). В этом случае в силу теоремы гауссовского момента [см. (1.6.18)] мы имеем для функции корреляции n-порядка действительного гауссовского случайного процесса с нулевым средним

где Таким образом, в этом случае автокорреляционная функция второго порядка уже содержит всю информацию о корреляциях высших порядков.