5.5. Представление по когерентным модам для гауссовскнх источников модели Шелла

На протяжении всей этой главы мы дали несколько примеров, связанных с источниками модели Шелла (которые, в соответствующем пределе, содержат квазиоднородные источники). Из-за важности модельных источников этого типа, а также для того, чтобы лучше понять основные отличия между когерентными и некогерентными, в глобальном смысле, источниками, мы рассмотрим представление по когерентным модам, описанное в разд. 4.7, для гауссовских источников модели Шелла. Чтобы сделать анализ по возможности простым, мы будем рассматривать только одномерные источники этого класса.

Одномерный, вторичный, гауссовский источник модели Шелла характеризуется взаимной спектральной плотностью вида [ср. (5.3.15), (5.3.23) и (5.3.24)]

где пространственное распределение спектральной плотности и спектральная степень когерентности определяются выражениями

где положительные числа.

Согласно одномерному аналогу (4.7.44) взаимную спектральную плотность можно выразить в виде

где собственные значения и ортонормированные собственные функции однородного интегрального уравнения Фредгольма

С физической точки зрения, выражение (5.5.4) представляет функцию взаимной спектральной плотности вторичного источника в виде линейной суперпозиции мод взаимной спектральной плотности, каждая из которых является полностью пространственно когерентной на каждой частоте.

Интегральное уравнение (5.5.5), с ядром, определяемым из уравнений (5.5.1) и (5.5.3), можно решить в конечном виде. Обнаружено, что нормированные собственные функции и собственные значения равны (см., например, Gori, 1980b или Starikov and Wolf, 1982)

где полиномы Эрмита и

Из уравнения (5.5.7), которое дает собственные значения для гауссовского источника модели Шелла, можно получить простое выражение для относительных «весов», с которыми различные моды дают вклад во взаимную спектральную плотность источника. Отношение собственного значения к наименьшему значению определяется, очевидно, выражением

Деля числитель и знаменатель в правой части на множители можно выразить (5.5.9) в более важном, с физической точки зрения, виде. Тогда мы получим следующее простое выражение для отношения

где параметр отношение дисперсии спектральной степени когерентности к дисперсии функции спектральной плотности:

Ясно, что этот параметр можно рассматривать как меру степени глобальной когерентности гауссовского источника модели Шелла. Рассмотрим два предельных случая.

Когда источник является пространственно когерентным в глобальном смысле. Согласно (5.5.11) мы имеем в этом случае Тогда из (5.5.10) следует, что

Эта формула означает, что для всех следовательно, в когерентном пределе поведение источника хорошо аппроксимируется модой низшего порядка.

В другом предельном случае, когда источник является пространственно некогерентным в глобальном смысле и принадлежит к классу квазиоднородных источников, которые мы рассматривали ранее (разд. 5.3.2). В соответствии с (5.5.11) мы имеем , и из (5.5.10) следует, что

Рис. 5.17. Отношение собственного значения к собственному значению низшего порядка для одномерного, вторичного, гауссовского источника модели Шелла как функция [см. (5.5.10)], для некоторых значений степени глобальной когерентности Значения характеризуют источники, которые являются пространственно когерентными и некогерентными в глобальном смысле соответственно. (Starikov and Wolf, 1982)

Эта формула означает, что для адекватного описания источника требуется большое число мод (порядка

На рис. 5.17 показано поведение отношения как функции для разных значений параметра Из рисунка видно, что, как только мы переходим от сильно (в глобальном смысле) когерентных источников к некогерентным, для описания пространственных корреляционных свойств необходимо все больше и больше мод. Вклады различных мод в интенсивность в дальнем поле были изучены Стариковым и Вольфом (Starikov and Wolf, 1982). Гори (Gori, 1983) исследовал вклады различных мод во взаимную спектральную плотность для любого поперечного сечения

Собственные функции (5.5.6), которые иногда называют эрмитово-гауссовскими функциями, хорошо известны в теории лазерных резонаторов. Они представляют собой зависящие от х части поперечных мод для конфокальных лазерных резонаторов со сферическими зеркалами и прямоугольными границами вдоль направлений осей х и у, при условии, что дифракция, возникающая на границах зеркал, является пренебрежимо малой (см., например, Kogelnik and Li, 1966; Siegman, 1971, разд. 8.4). В разд. 5.6.2 мы будем изучать структуру поперечной моды низшего порядка.