11.6.2. Переполненность

Множество когерентных состояний обычно называют переполненным в том смысле, что эти состояния образуют базис и, кроме того, выражаются друг через друга. Необходимо подчеркнуть, однако, что данное множество состояний нельзя сделать точно полным, удаляя из него некоторое счетное множество когерентных состояний (Cahill, 1965). Да это и не требуется, поскольку, как мы увидим, именно переполненность является причиной некоторых наиболее интересных и важных свойств представления по когерентным состояниям.

Рис. 11.1. Примеры представления положения точки на плоскости составляющими радиус-вектора: а — базис является полным и ортогональным; базис является полным и неортогональным; в — базис является переполненным и неортогональным

Неортогональность, переполненность множества когерентных состояний и неоднозначность данного представления иногда при первом ознакомлении являются источником путаницы, так что может оказаться полезной простая геометрическая аналогия. Рассмотрим задачу представления радиус-вектора точки на плоскости (рис. 11.1). Один из способов достижения этого состоит в том, что вводится пара ортогональных осей, как показано на рис. 11.1а, а вектор разлагается по единичным векторам направленным вдоль этих осей. В этом случае

где пара чисел является представителем точки Данное представление основано на полностью ортогональном, линейно независимом множестве векторов и является однозначным.

С другой стороны, можно использовать систему координат, показанную на рис. в которой оси не являются ортогональными. Мы опять получаем представление, основанное на паре чисел так что

где единичные векторы, направленные вдоль осей. На этот раз множество базисных векторов не ортогонально, однако эти векторы по-прежнему линейно независимы, а их множество по-прежнему полное, ибо любой вектор можно представить данным способом. Более того, данное представление опять является однозначным.

С другой стороны, можно выбрать координатную систему с тремя осями, показанную на рис. На этот раз положение точки представляется тройкой чисел так что

где единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей. Данное представление основано на неортогональном и переполненном множестве базисных векторов, и один из них можно представить в виде некоторой комбинации других. Базисные вектора не являются больше линейно независимыми, поскольку условие

не означает, что . Более того, вследствие линейной зависимости и переполненности представление точки посредством тройки чисел больше не является однозначным, что ясно видно из рисунка. Конечно, в данном примере базис является конечным, и переполненность может быть устранена удалением одного из базисных векторов. В случае бесконечного (вдвойне) базиса, образованного множеством когерентных состояний, ситуация не такая простая.

Имея дело с неортогональным множеством состояний, следует соблюдать некоторую осторожность при интерпретации проекционных операторов или скалярных произведений, типа между некоторым состоянием и когерентным состоянием Напомним, что соответствующее скалярное произведение между состоянием и фоковским состоянием рассматривают обычно, как амплитуду вероятности состояния в n-представлении, ибо есть вероятность обнаружения фотонов. Поскольку фоковские состояния ортогональны, вероятности являются взаимоисключающими для различных кроме того, нормированными на единицу, так что

С другой стороны, неортогональность когерентных состояний проявляется в том, что квадраты модулей скалярных произведений не являются взаимоисключающими вероятностями (или, точнее, плотностями вероятностей) и их интеграл не равен единице. Вместо этого получаем

в силу (11.6.4). Если интерпретируется, как плотность вероятности обнаружить комплексную амплитуду то дифференциальные вероятности, очевидно, не являются взаимоисключающими, и правая часть выражения (11.6.9) дает представление о степени перекрытия. Однако, как мы уже видели, неортогональность существенна, главным образом, для соседних когерентных состояний. Два состояния, отвечающие двум существенно различным собственным значениям, почти ортогональны. Аналогично, невзаимоисключаемость плотностей вероятности относится, главным образом, к соседним когерентным состояниям, и если существенно различны, то играют роль почти взаимоисключающих дифференциальных вероятностей.