19.3.3. Случай константы связи ...: фазовый переход первого рода

Если как в случае однородно уширенного двухмодового лазера, фазовая диаграмма меняется (Hembenne and Sargent, 1975). Мы уже видели, что фаза IV отсутствует в этом случае. Однако, согласно определению, фазы, ранее обозначенные через II и III, теперь частично перекрываются в области поскольку существуют положительные значения параметров накачки при которых оба неравенства выполняются одновременно. Но, поскольку минимальный потенциал равен — в фазе II и равен в фазе III, состояние II будет, в действительности, более вероятным, чем состояние III в области тогда как состояние III будет, в действительности, более вероятным, чем состояние II в области Ясно, что линия разделяет эти две области. Если определять фазу через наиболее вероятное состояние, то в случае нужно переопределить фазу II, как область а фазу III, как область Соответствующая фазовая диаграмма приведена на рис. Наиболее вероятные значения потенциала для данных трех фаз равны

Для соответствующих энтропий находим

и мы видим, что обе терпят разрыв на линии разделяющей фазы II и III. Следовательно, фазовый переход через линию на рис. 19.116 является разрывным или фазовым переходом первого рода. Точка В, где встречаются все линии, есть критическая точка двухмодового лазера. Фазовая диаграмма в окрестности точки В будет аналогична диаграмме для слабо анизотропного антиферромагнетика (Agarwal and Dattagupta, 1982), если два параметра накачки характеризующие состояние системы, заменить приложенным магнитным полем и температурой. Парамагнитная фаза отделена от антиферромагнитной фазы и от так называемой спин-флоп фазы линиями фазового перехода второго рода, тогда как антиферромагнитная и спин-флоп фазы разделяются линией фазового перехода первого рода.

На рис. 19.12 приведен трехмерный график зависимости потенциала от когда как для случая так и для случая Первый случай соответствует фазе IV из диаграммы 19.11а, тогда как второй соответствует фазе III из диаграммы Ясно, что ситуации коренным образом различаются. В первом случае имеет один минимум, тогда как во втором случае имеет два локальных минимума, один при а второй при и эти минимумы разделены седлом. Оба минимума отвечают состояниям лазера с высокой степенью вероятности, но первый минимум чуть ниже и поэтому соответствует более вероятному состоянию. Трехмерные графики позволяют представить то, каким образом фазовый переход второго рода меняется на фазовый переход первого рода при увеличении выше единицы.

Иногда полезно проинтегрировать по одной из переменных и иметь дело только с одной модой лазера (Mandel, Roy and Singh, 1981). Для этого можно воспользоваться формулой (19.2.11), определяющей распределение вероятности интенсивности моды 1 в стационарном состоянии, которое запишем следующим образом

где одномодовый потенциал имеет вид

Рис. 19.12. Графики, иллюстрирующие форму потенциала при а — константа связи константа связи (Lett, Christian, Singh and Mandel, 1981)

На рис. 19.13 показаны графики потенциала для нескольких значений константы связи при фиксированных значениях параметров накачки . Пока потенциал имеет один минимум чуть ниже значения но как только достаточно превышает единицу, потенциал имеет как минимум, так и максимум. Максимум, который наиболее ярко выражен при разделяет два локальных минимума, около значений которые оба соответствуют наиболее вероятным состояниям. Конечно, интенсивность 12 не равна нулю всякий раз, когда и наоборот. Хотя может показаться, что данные состояния стабильны, оба состояния, фактически, лишь метастабильны из-за квантовых флуктуаций. В каком бы состоянии ни была система в некоторый момент времени, она «встретит» рано или поздно достаточно большую флуктуацию, которая вызовет ее переход из одного метастабильного состояния в другое. Время жизни данного состояния зависит от высоты максимума потенциала и, как мы скоро убедимся, может быть довольно большим. В некоторых отношениях лазер в этом состоянии проявляет свойства, которые ассоциируются с квантово-механическим туннельным прохождением через потенциальный барьер.

Рис. 19.13. Форма потенциала (обозначенного здесь через одной моды двухмодового лазера при различных значениях константы связи когда (Mandel, Roy, Singh, 1981)

Чтобы яснее увидеть, каким образом переход между этими двумя метастабильными состояниями соответствует фазовому переходу первого рода, нарисуем еще раз график потенциала но теперь при фиксированном значении для нескольких значений параметра накачки (при этом Вспоминая, что наименьший потенциал соответствует наиболее вероятному значению интенсивности видим из рис. 19.14, что наиболее вероятная интенсивность равна нулю вплоть до некоторого значения между 4 и 6, а затем, при больших скачком принимает ненулевое значение. Пунктирная линия на рис. 19.14 есть годограф наиболее вероятной интенсивности являющейся параметром порядка фазового перехода. Как обычно, параметр порядка обращается в нуль в неупорядоченной фазе. Отметим, что он имеет точку разрыва с конечным скачком на фазовом переходе. В результате наиболее вероятный потенциал получаемый подстановкой наиболее вероятной интенсивности имеет разрывную первую производную. Это ясно

Рис. 19.14. Зависимость потенциала (обозначенного здесь через от интенсивности одной моды двухмодового лазера при различных значениях параметра накачки когда (Mandel, Roy, Singh, 1981). Пунктирная линия — геометрическое место точек наиболее вероятной интенсивности

Рис. 19.15. Наиболее вероятный потенциал одной моды двухмодового лазера как функция параметра накачки при различных значениях константы связи и при (Mandel, Roy, Singh, 1981)

иллюстрирует рис. 19.15, где наиболее вероятный потенциал показан как функция от при нескольких значениях константы связи Из рисунка видно, что разрыв производной имеется тогда, когда константа связи больше единицы.

Мы уже видели из (19.3.9) и (19.3.10), что нуль и являются наиболее вероятными значениями интенсивности Тот же вывод справедлив и в том случае, когда используется одномерный потенциал Пусть для удобства Анализ (19.3.166) или рис. 19.14 ясно показывают, что в случае малых а. Для определения другого значения продифференцируем по Нетрудно найти (Mandel, Roy and Singh, 1981), что ненулевое значение задается пересечением двух кривых

которое лежит на высокоинтенсивном конце гауссовской функции. При условии, что а не слишком мало, можно воспользоваться асимптотическим разложением функции ошибок (Abramowitz and Stegun, 1965, разд. 7)

Из этого разложения следует, что является решением уравнения

Таким образом, двумя наиболее вероятными значениями являются и Для того, чтобы определить какое из них более вероятно, необходимо вычислить разность между потенциалами В том же приближении находим из (19.3.166), что

Следовательно, переключение с одного минимума на другой происходит в точке которая является решением трансцендентного уравнения

Если и параметр очень мал, то порядок приближенного решения равен

Следовательно, наиболее вероятное значение интенсивности есть

Вспоминая, что величина параметра накачки а, взятая с обратным знаком, есть аналог температуры термодинамической системы, можно теперь ввести энтропию , дифференцируя потенциал по параметру накачки, т.е.

Рис. 19.16. Зависимость энтропии двух-модового кольцевого лазера от параметра накачки а [по формуле (19.3.23)] при (Mandel, 1982)

Из (19.3.166) следует, что

и можно использовать (19.3.21) для подстановки подходящих значений Если а превышает значение, приблизительно равное 3, и то можно использовать приближение и асимптотическое разложение (19.3. 17) для Это приводит к следующему результату:

Энтропия имеет разрыв при так что лазер имеет в этой точке разрывный или фазовый переход первого рода. Этот результат характерен для бистабильного потенциала. Действительно, потенциалы общего вида (19.2.4) использовались для описания фазовых переходов первого рода в других системах [обсуждение фазовых переходов первого рода имеется, например, в работе (Patashinskii and Pokrovskii, 1979, гл. 8)]. Пример энтропии, задаваемой формулой (19.3.23), показан на рис. 19.16.