4.70. Потенциал скоростей жидкости.

При безвихревом движении скорость является отрицательным градиентом потенциала, а именно . В прямоугольных координатах ее компоненты задаются в виде

Так как компоненты скорости также выражаются через функцию тока, то мы имеем равенство

В векторных обозначениях получаем соотношение

Таким образом, если единичный вектор в каком-либо направлении и единичный вектор нормали к расположенный в направлении против часовой стрелки от то мы получим равенства

или

Отсюда получится уравнение (1), если брать по очереди, так как соответствующими значениями являются

Из уравнения (2) мы также заключаем, что взаимно перпендикулярны. Это означает, что кривые пересекаются под прямыми углами. Таким образом, кривые постоянного потенциала скоростей пересекают линии тока ортогонально.

Необходимо отметить следующие положения.

а) Функция тока существует независимо от того, является ли движение безвихревым или нет.

б) Потенциал скоростей может существовать только при безвихревом движении.

в) Если движение безвихревое, то существует потенциал скоростей.

г) Одна часть жидкости может иметь безвихревое движение, другая часть — вихревое. Потенциал скоростей существует в тех и только в тех частях жидкости, где движение безвихревое.

д) Когда жидкость движется, то завихренная часть жидкости может занимать различные области пространства. Существование потенциала скоростей является свойством той части жидкости, которая имеет безвихревое движение, а не той области пространства, которую временно занимает эта часть жидкости.

е) Характер течения при безвихревом движении под действием консервативных сил зависит только от граничных условий. В частности, если жидкость не имеет свободной поверхности, то характер течения при ациклическом безвихревом движении зависит только от движения этих границ, а не от поля внешних сил, которые воздействуют только на давление.

Рассмотрим функцию тока

Находим, что поэтому движение безвихревое. Компоненты скорости равны — х, у.

Следовательно, для отыскания потенциала скорости мы можем написать уравнения

так что

Таким образом, имеем равенство

Линии тока определяются уравнением т. е. они будут равносторонними гиперболами, имеющими в качестве асимптот оси координат. Линиями постоянного потенциала скоростей также являются равносторонние гиперболы. Таким образом, эта функция тока и потенциал скоростей задают течение жидкости около прямого угла, как показано на рис. 77, где пунктирные линии соответствуют постоянным значениям функции

Рис. 77.

Рассмотрим прямоугольный элемент жидкости со сторонами, параллельными осям координат. Из уравнений (1) мы видим, что компонента и одинакова для всех точек на линии а компонента одинакова для всех точек на линии Следовательно, прямоугольник сохраняет прямоугольную форму, когда передвигается вверх. Кроме того, площадь остается постоянной (уравнение неразрывности), так как прямоугольник состоит из одних и тех же частиц жидкости. Ясно, что сторона непрерывно уменьшается по длине, в то время как сторона непрерывно увеличивается. Следовательно, жидкий элемент изменяет свой вид, но стороны элемента остаются параллельными осями. Этот пример иллюстрирует безвихревой характер движения и скорость чистой деформации, рассмотренную в п. 2.40.